29-第29讲一元积分应用(三).ppt

高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十三讲 一元微积分的应用(六) —— 微积分在物理中的应用 第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。 第六章 一元微积分的应用 第 八 节 微积分在物理学中的应用 一、变力沿直线作功 二、液体的静压力 三、引力 请点击 一、变力沿直线作功 例1 解 例2 解 二、液体的静压力 例3 解 2 m 2 x 2－x 如图建立坐标系 坐标为 x 处液体的深度为 x x+dx a b 边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成 角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处，设 a b 液体的比重为 ，求板的一侧所受的压力。 例4 解 得液体的侧压力的计算公式 将以上几例的解法一般化 由万有引力定律：两个质量分别为 相距为 r 的质点间的引力 若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接利用上述公式计算。 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有 一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。 三、 引 力 例5 取 x 为积分变量 该小段细杆的质量为 若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为 m 质点的引力。 0 l · m a 如图建立坐标系 解 尤其是如何在具体问题中取“微元”——微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。 关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程 关于定积分的应用说明三点： 1。选择合适的坐标系 2。善于根据问题的性质和要求构造积分元素，主要是选择好参数，并能正确地确定出积分限， 3。具体计算定积分时，要特别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算，对此，熟悉区域或曲线的形状，对于解决问题是十分有益的。 发射火箭需要计算克服地球引力所作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭垂直地向上发射到离地面高H 时，需作多少功。并由此计算初速度至少为多少时，方可使火箭脱离地球的引力范围. 例6 x o R R+H 取 ox 轴竖直向上 x o R R+H 地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律， 即 x =R 时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg 火箭所受地球的引力 随火箭发射的高度 x 而变化 当火箭在地面上 代入上式 为了发射火箭，必须克服地球引力， 克服地球引力的外力F与 f 大小相等 解 下面用微元法来求变力所作的功。 取 x 为积分变量 所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处 则动能为 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有 代入上式得 ——第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为