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一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性 (1) 定义：, ，有 . (2) 无界：, ，有 . (3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 b 奇偶性 (1) 定义：偶；奇 。 (2) 导函数：奇导偶，偶导奇. (3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性 (1) 定义： (2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性 (1) 定义：递增(递减) 当时，均有 (2) 导函数：单增(减)；单增(减). 一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性 (1) 定义：, ，有 . (2) 无界：, ，有 . (3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 b 奇偶性 (1) 定义：偶；奇 。 (2) 导函数：奇导偶，偶导奇. (3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性 (1) 定义： (2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性 (1) 定义：递增(递减) 当时，均有 (2) 导函数：单增(减)；单增(减). 例1 设 （A） 偶函数 （B）有界函数 （C） 周期函数 （D）单调函数 分析：(A) 则是偶函数. (B) 取, 则, 故无界. (C) 若为周期函数,设周期为, , 故而, 从而 显然, 当, 显然, 故而不是周期函数. (D) 设, 故而不是单调函数. 例2 设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ) （A） （B） （C） （D）根据上面条件无法判断 分析: (A) 是偶函数, 从而(A)是奇函数. (B) 是奇函数, 从而(B)是偶函数. (C) 是奇函数, 偶函数. 例3 设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ B ） (A) (B) (C) (D) 分析: 显然是奇函数, 故而 是偶函数且为周期为1的函数, 则 . 2 极限的定义和性质 a 一元函数的极限与性质 (1) :,，当时，有. (2) 推论: 若, 则不存在. (3) 当有 (4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若，则 ① = 2 \* GB3 ② . b 二元函数 (1) :,，当时， 有. (2) 推论：若按两路径趋向于所得极限不同，则 不存在. (3) 当有 例4 设，求和。 分析: 例5设函数在点（0，0）连续，且，则点（0,0）是( ) （A）极大值点 （B）极小值点 （C）不是极值点 （D）根据上面条件无法判断 3 一元函数极限的计算 a 四则运算和等价无穷小代换. 例6 . 例7 求 b 三大恒等变形 1). 含的极限. = 1 \* GB3 ①若直接计算且, 直接利用公式 = 2 \* GB3 ② 将写成求解. 例8 例9 2） 有理化变形 例10 求 3) 分子、分母同时除以最大的无穷大 常见的无穷比较: 例12 例13 d 洛必达法则和泰勒定理 函数进行泰勒定理展开时, 只要展开到首次不同项即可. 例14 设函数，则当时， 是的（ ） （A） 低阶无穷小 （B） 高阶无穷小（C） 等价无穷小 （D） 同阶但不等价的无穷小 例15 求. 4 二元函数极限的计算 a 利用夹逼准则、等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限. 例16 求 例17 求 b 选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在. 例18 请说明是否存在. 5 连续函数 a 定义: . b 运算: 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续。 c 闭区域(区间)连续函数性质: 有界性、最值性、介值性、零点定理. 推论: 设在连续,且存在, 则在有界. 例19(04) 设函数在下列哪个区间内有界( ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 例20 设在连续，，求证存在使得 . 二 微分学 1 导数与偏导数的定义、性质 a 导数定义: 1) 存在. 2) 存在在可微在连续. 3) 若, 在连续，则存在 若, 在连续, 则