清华微积分(高等数学)课件--微积分(一)小结.ppt

* * 7.泰勒公式 （1）皮亚诺型余项的泰勒公式 * * 2.拉格朗日型余项的泰勒公式 * * 3.常用的麦克劳林公式 * * * * 要求 * * (9)利用泰勒公式求极限、证明不等式 (8)会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式 * * [例1] [证] 设 * * 从而 所以 * * [例2] [证] 则 * * [例3] [证] 反证法。设另有交点 则对函数 有 由罗尔定理 * * * * 微积分（一）小结 一.函数 1.定义 * * （1）有界性 2.函数的初等性质 （3）奇偶性 （4）周期性 （2）单调性 * * 4.会分析复合函数中变量的关系，会 求给定函数的反函数。 3.利用函数符号描述有关函数的性质； 要求 1.要熟练掌握基本初等函数的定义 域、值域及图形； 2.利用给定条件或问题，找出函数关系 及定义域； * * 1.极限的定义 二、函数的极限 * * 2.极限的性质 （1）唯一性: （2）有界性: （3）保号性: * * 3.极限的运算法则 （1）四则运算法则 （2）复合函数的极限法则 4.无穷小量的比较 （3）夹逼定理 * * [注意] 并非所有无穷小量都可以进行比较 例如 而 不存在 * * 搞清以下关系 （4）无穷大量与无界函数的关系. * * 6.求未定型极限的方法 (1)利用基本公式: * * (2)利用等价无穷小替换； (3)利用罗必达法则； (4)利用夹逼定理； (5)利用泰勒公式 * * 要求 (2)熟练掌握极限的性质，能够运用它们分析证明简单的问题. (3)能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函数的极限。 (1)正确理解函数极限的概念。 * * 三.连续函数 1.定义 要求 (1)能叙述两种函数在 连续的等价定义. (2)会确定间断点及其类型. * * 2.连续函数的性质 (1)两个连续函数经有限次四则运算 和复合得到的新函数仍是连续函数。 (2)若函数 ，则有以下重 要定理： 1）有界定理 2）根值定理（零点定理） 3）介值定理 * * 4）最值定理 3.初等函数在其定义区间上是连续的 要求 (2)掌握连续函数的性质，并能够运用它们分析证明简单的问题。 (1)会利用初等函数的连续性求函数的极限。 * * 四.导数与微分 1.基本概念 (1)导数定义 设函数 在点 及其附近有定义， 如果极限 存在，则称函数 在 可导， 在 的导数记作 。 * * (2)微分定义 * * (3)高阶导数的定义 * * (4)可微与可导的关系 2.基本导数公式 (5)可微与连续的关系 * * * * * * 3.导数的运算法则 (1)导数的四则运算法则 (2)复合函数求导的链式法则 (3)隐函数求导法 (4)反函数求导法 (5)参数方程求导法 (6)对数微分法 (7)高阶导数的莱布尼兹公式 * * 4.导函数的性质 (1)导数的零点定理 (2)导数的介值定理 (3)导函数在定义区间内无第一类间断点。 * * 要求 (1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，会用定义求分段函数在分点处的导数。 (2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。 (3)熟记基本导数（微分）公式。 (4)熟练运用各种求导(微分)法则求初等函数的导数、微分。 * * 五.导数应用 1.微分学基本定理 (1)罗尔定理 (2)拉格朗日定理 (3)柯西定理 2.函数的增减性 * * 3.函数的极值 (1)极值的概念: * * (2)极值的必要条件（费马定理） (3)极值的充分条件 * * 4.函数的凸性 (2)凸性的判别法 * * (3)拐点的定义与判别 1)定义 曲线的上凸弧与下凸弧的分界点 * * 5.曲线的渐近线 * * * * 6.罗必达法则