湖北省2013年高考数学备考资料 研究专题7（选修）：高中数学新教材变式题.doc

忠实课本，拔高课本 作者：卢翠荣 单位：大悟一中数学组 课本是学生学习和教师教学的“本”，高考选拔人才必然要以这个“本”为依据，那么高三复习肯定要忠实于课本，以课本为基础，根据数学课的特点，应该在归纳课本上的思想方法的基础上“拔高”课本，使课本上的思想方法得到“升华”。 那么在具体复习时我通常是引导学生将课本例题习题多题一组，编拟问题链，形成“合力”，加强题与题之间的横向联合。并且将题目一变多，使学生对此问题更深入，更透彻。下面就是我通过课本例题习题改编的题目。 人教A版选修2-2第79页例1： 已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式． 变式1：已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式． 解：，，…，一般地有； 本题也可以直接求出通项公式． 由得，，即， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则， 而，则． 理科学生还可以先归纳，提出猜想，然后用数学归纳法证明． 变式2：已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式． 解：，，…，一般地有； 本题也可以直接求出通项公式． 由得，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，则， 而，则． 由变式（1）、变式（2）你能总结出什么规律？ 对满足型的数列，当时采取取倒数的方法即可得出数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列的通项． 变式3：（2005年高考湖南卷）已知数列的第1项，且，则 A．0 B． C． D． 解法1：由于，，则，，，由此归纳出数列是以3为周期的数列，则，选B． 解法2：，令，则， 则，即，， 而，则，； 变式4：（2007年广州市高考二模）已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 ． 【思路1】分别求出、、、，可以发现，且，故． 【思路2】由，联想到两角和的正切公式，设，则有，，，，……． 则，故． 从以上变式3到变式5，你能受到什么启发呢？结构与两角和或差正切公式相似，这样的数列一定是周期数列． 2.原题（选修2-2第五十六页例1）改编 由曲线，所围成图形的面积为____________ 解：联立 得焦点坐标（0,0），（1,1） ∴ 而表示单位圆在第一象限内的部分 ∴= ∴ 故填 立．（略） 3.（原题选修2-2 第77页练习2）改编 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______． [答案]　2n－1　32 4．人教A版选修2-2第83页例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 变式1：直角三角形与直角四面体的性质类比 平面内直角三角形的性质 空间中直角四面体的性质 在ΔABC中，∠BCA=900，点C在AB上的射影为D，则有下列结论: 点D在线段AB上． ABAC,ABBC, 即直角三角形三边中斜边最长. 射影定理: AC2=ADAB, CB2=DBAB, CD2=ADDB 在四面体SABC中，三个平面SAB、平面SBC、平面SAC两两垂直，点S在底面上的射影为O,则有类似结论: 点O在ΔABC内． ΔABC，ΔABS，ΔSBC，ΔASC中，ΔABC的面积最大； 以上结论的证明如下： （1）由题设SA，SB，SC两两垂直，则三角形SBC为直角三角形，则斜边BC边上的高SD在三角形SBC内，即点D在BC上， 连结AD，则BC⊥平面SAD，则平面ABC⊥平面ASD，过点S在面SAD内作SOAD于O，则SO⊥平面ABC，即点S在平面ABC的射影为O； 由于三角形SAD为直角三角形，则斜边AD上的高的垂足O在线段AD上，即O在三角形ABC内． （2）由于，， ∵SAD为直角三角形，则斜边，故； 同理可证：，． （3），而在直角三角形ASD中，， ∴， 因此 ．，同理可证，． （4）在直角三角形SAD中，由于SOAD于O，则， 在直角三角形SBC中，由于SDBC于D，则， 因此． 变式2：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比 三角形 四面体 三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心. 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心． 三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半. 四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的,且该三角形所在平面平行于第四个面. 三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分. 四面体的任何