湘教版高中数学必修二3.4.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质精品导学案.doc

3.4.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 学习目标 重点难点 1．能分析函数y＝sin(x＋φ)与y＝sin x图象间的关系； 2．知道振幅、频率、初相、相位等概念； 3．能进行函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin x之间的图象变换； 4．会分析函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质； 5．能够根据图象写出函数的解析式. 重点：进行函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x之间的图象变换，会分析函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质； 难点：函数图象的平移变换以及由图象求解析式； 疑点：平移变换中平移单位数的确定以及解析式参数φ的确定. 1．函数y＝sin(x＋φ)的图象与函数y＝sin x的图象之间的关系 一般地，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度得到． 1 由函数y＝sin 2x的图象经过怎样的平移可得到y＝sin的图象？一般地，将函数y＝sin ωx的图象经怎样的平移可得到y＝sin(ωx＋φ)的图象？ 提示：由于y＝sin＝sin，所以应将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，即可得到y＝sin的图象；一般地，应把y＝sin ωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位才能得到y＝sin(ωx＋φ)的图象． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ是常数)的图象与y＝sin x的图象之间的关系 一般地，设A＞0，ω＞0，φ是常数，函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象可经过以下步骤得到：将正弦曲线y＝sin x向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动|φ|个单位长度；再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍；进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A＞1)或缩小(0＜A＜1)为原来的A倍． 2 若对y＝sin x的图象先进行伸缩变换，再进行平移变换，能否得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象？ 提示：能得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，但要注意这时平移的单位数不再是|φ|，而是. 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ是常数)的性质 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0)的值域为[－A，A]，周期为. (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)经常用来表示振动过程中的物理量．此时A表示这个振动量偏离平衡位置的最大距离．称其为振幅．如果x表示时间，则函数的周期就是往复振动一次所需的时间．而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数，称为频率，ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相． 3 在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，φ取何值时，函数是奇函数？φ取何值时，函数是偶函数？ 提示：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数是偶函数． 4 怎样确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴与对称中心？ 提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋求得，即x＝(k∈Z)；由ωx＋φ＝kπ，即x＝(kπ－φ)(k∈Z)，得对称中心为(k∈Z)． 在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 作出函数y＝3sin的图象，并求函数的单调递增区间以及对称中心的坐标． 思路分析：用“五点作图法”画出函数图象，然后用整体代换的方法求单调增区间以及对称中心坐标． 解：按“五点法”，令2x＋分别取0，，π，，2π，x相应取－，，，，. 列表： x － 2x＋ 0 π 2π 3sin(2x＋) 0 3 0 －3 0 描点、画图，如图． 利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图． 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数的单调递增区间是(k∈Z)． 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z，所以函数图象的对称中心的坐标为(k∈Z)． 作出函数y＝2cos(2x－)的图象，并根据图象写出函数的单调减区间． 解：令X＝2x－，按“五点法”令X＝2x－分别取0，，π，，2π，x相应取，，，，，列出表格如下： x 2x－ 0 π 2π 2cos(2x－) 2 0 －2 0 2 描点、画图，如图所示． 利用函数的周期性，可以把图左、右扩展得到y＝2cos(2x－)，x∈R的简图． 由图象知，函数的单调减区间为 (k∈Z)． 1．用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先作变量代换，令X＝ωx＋φ，再用方程的思想由X取0，，π，，2π