考研高等数学基础班随堂笔记第二部分.docx

第五讲定积分及其应用定积分概念和性质定义：注：本质上就是在闭区间对有界函数经过分割近似求和取极限四步得到的一个数值。而与积分的变量的子母选择无关。极限的理解与应用：分割方法任意确定，任意取法，只要分割成无限个无穷小的区域。定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。作用：快速求定积分，用于考试中填空题求解：由积分存在，故由定积分定义知：=，x∈[0,1]对应图形则是圆的面积，所以原极限等于函数的可积条件：必要条件f(x)有界可积得充分条件：①f(x)在[a,b]上连续则存在；②f(x)在[a,b]上有界且只有有限个第一类间断点则存在定积分的基本性质约定：=线性性质积分对区间可加性=+，abc大小关系任意不等式性质注：“”成立的常用条件：f(x),g(x)在[a,b]上连续且估值性质*积分中值定理。f(x)在[a,b]上连续函数的平均值：。已知f(x)在[a,b]上可积，证明在[a,b]上连续。证明：微积分基本定理变上限积分函数被积函数连续基本定理若f(x)在[a,b]上连续，则则在[a,b]上可导且F’(x)=f(x)证明：定理=（根据积分中值定理得出）。即同理可得注:去掉定积分符号有两种方法：1.积分中值定理2.F’(x)=f(x),其中f(x)连续是f(x)的一个原函数，即连续函数必存在原函数。含有变上限积分函数相关的考研试题只要求导先处理，往往可以得到解决，求导可以分为三个层次考察。。（）因为在积分符号中是对t的常数，所以可以提到积分符号前面。所以原式。（考试容易考察）如：先利用定积分还原法，统一积分变量，转化成前两种形式求分析：可以看出此极限为0/0型。利用等价无穷小将分母等价于在利用罗比达法则将分子定积分符号去掉。进而求解解：原式=原式=三．积分方法1.牛顿-莱布尼兹公式背景：物理，质点运动的路程函数公式：设f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)在[a,b]上任意的原函数分项，分段积分法求=解：所以分段积分原式=2.定积分的换元法背景：代换公式：f(x)在[a,b]上连续，x=，同时是连续的求I=解：令x=sint,证明（1）（2），其中f（x）以T为周期。证明：（1）四.反常积分(广义积分)背景：[a,b] ,f(x)0s是面积分类与定义：（1）区间无界[a，）反常积分收敛即。，反常积分收敛即。,收敛，同时收敛否则称为发散（2）f(x)无界(a,b]上连续且，且称a点为f(x)上的一个瑕点，收敛同时同理f(x)在[a,b)上连续且，同理f(x)在[a,c),(c,b]连续，,存在注：会计算简单的反常积分方法：定义，定积分计算+极限运算例8求解原式==。。。。。。例9求极限分析：数列极限方法：（1）转化为函数极限（2）夹逼准则，单调有界收敛准则（3）四则运算（有限个项）（4）定积分定义（）这里利用定积分定义解：原极限=根据定积分的定义原极限=，在令x=tant，最后可求解。。。。。。。例10．设M=,,则（）(A)PNM,(B)NPM,(C)NMP,(D)PMN分析：利用函数的奇偶性可以时对称区间奇函数的积分为0其中M中，，为奇函数，所以MNP可以化简为，,PMN例11下列正确的是(A)因五定积分的应用要求：几何应用。物理应用几何应用要求物理应用平面图形的面积直角坐标系下，面积的计算极坐标下，计算面积找的关系式A=旋转体体积的计算弧长公式平面直角坐标系：极坐标下参数方程时，（），其中x,y在[a,b]有连续导数。第六讲多元微分学及应用一．多元函数，极限，连续多元函数,D为一个区域注：i）几何意义：一半表示为空间的曲面(x,y,f(x,y))ii）z=f(x,y)iii)二元初等函数：由两个变量对应的基本初等函数和常数，经过有限次四则运算、复合运算得到2二元极限的概念定义：和一元的定义一样注：相同点（不考）：二元函数极限是一元极限定义的自然推广，一元函数极限性质，极限的四则运算，以及其他的方法和法则，可以直接推广到二元函数极限二元函数极限与一元极限最重要区别是自变量变化方式的多样性*二元函数极限不存在的判定法：若可找到一条路径对应的极限不存在。或找两条不同的路径下对应的极限存在但不相等，则而原极限不存在。特别的：为（0，0）时，若（x,y）沿涉嫌y=kx(k≠0)趋与(0,0)时，极限与k相关，不存在二元函数极限的计算：利用性质、借助一元极限的求解。证明(1)令f(x,y)=不存在，（2）令g(x,y),不存在证明（1）令y=kx.求的极限为与k相关的值，所以不存在（2）令y=kx，求极限结果为0，在令y=，求的极限不等于0根据性质可得出结论，不存在。例2.求。解：多元函数的连续性注：多元函数的连续式一元函数连续的直接推广。类似一元情形，同样把不连续点称为间断点。不同的是，我们不进行分类一元连续函数的性质，可自然推