选修1-1数学教案：1.1.2双曲线的几何性质.doc

PAGE 1. 课前预习学案 一、预习目标 理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． 二、预习内容 1、双曲线的几何性质及初步运用． 类比椭圆的几何性质． 2．双曲线的渐近线方程的导出和论证． 观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、教学过程 (一)复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的． 2．双曲线的两种标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质1～3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发） (三)问题之中导出渐近线(性质4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它： 双曲线在第一象限的部分可写成： 当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON． 在其他象限内也可以证明类似的情况． 现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字 这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精 再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率(性质5) 由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响： 变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． 这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (五)练习与例题 1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正． 由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3． 焦点坐标是(0，-5)，(0，5)． 本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合： 化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． 这就是双曲线的标准方程． 由此例不难归纳出双曲线的第二定义． (六)双曲线的第二定义 1．定义(由学生归纳给出) 平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e= 叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 2．说明 (七)小结(由学生课后完成) 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结． 五、布置作业 1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程． (1)16x2-9y2=144； (2)16x2-9y2=-144． 2．求双曲线的标准方程： (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上； 曲线的方程． 点到两准线及右焦点的距离． 六、板书设计 1.1.2 一、课前预习目标 理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． 二、预习内容 1、双曲线的几何性质及初步运用． 类比椭圆的几何性质． 2．双曲线的渐近线方程的导出和论证． 观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究 1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析 2、描述双曲线的渐进线的作用及特征 3、描述双曲线的离心率的作用及特征 4、例、练习尝试训练： 例1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解： 解： 5、双曲线的第二定义 1）．定义(由学生归纳给出) 2）．说明 (七)小结(由学生课后完成) 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结． 作业： 1．已