选修2-1数学学案：3.1.5　空间向量运算的坐标表示.doc

§3．1.5 空间向量运算的坐标表示 知识点一 空间向量的坐标运算 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k. 解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－. (2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝. 【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥bx1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈R)；a⊥bx1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求： (1)线段AB的中点坐标和长度； (2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件． ＝(＝(＋)＝(2，，3)，所以线段AB的中点坐标是(2，，3)． |AB|＝＝. (2)点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则 ＝， 化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0. 知识点二证明线面的平行、垂直 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE. 证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），D1（0，0，2），所以＝(－2,0,0)，＝(0,1，－2)，·＝0＋0＋0＝0，所以D1F⊥AD.又＝(0,2,1)，所以、＝0＋2－2＝0，所以D1F⊥AE.又AD∩AE＝A，所以D1F⊥平面ADE. 已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形． =（-2，3，1），=（2，-5，3）， ∴= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2). 同理可得= (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5). 由 =， =，可知∥，∥， 所以四边形ABCD是平行四边形. 知识点三 向量坐标的应用 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心． (1)求证：B1O3⊥PA； (2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值； (3)求PO2的长． ， ,0)，P(0,0，)，A(1,0,0)， ＝(－，－，－1)，＝(－，－，－1)，＝(1,0，－)， ∴·＝－＋0＋＝0， 即 ⊥ ∴B1O3⊥PA. (2)解 ∵O1(，，1)，O2(，1，)， =（0，，）. 又∵ =（ ，，）， ∴cos〈，〉= ＝ ＝， ∴异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值为. (3)∵P(0,0，)，O2(，1，)， ＝(，1,0)． ∴||＝＝. 【反思感悟】　在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单． 　直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点． (1)求BN的长； (2)求BA1，B1C所成角的余弦值． 解　∴BN＝ ＝. (2)A1(1,0,2)，C(0,0,0)， B1(0,1,2)． ∴＝(1，－1,2)，＝(1，－1,2)，＝(0，－1，－2)， ·＝1－4＝－3，||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝ ＝＝－.∴BA1，B1C所成角的余弦值为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．已知点A(x1，y1，z1)，则点A关于xOz平面的对称点A′的坐标为(　　) A．(－x1，－y1，－z1) B．(－x1，y1，z1) C．(x1，－y1，z1) D．(x1，y1，－z1) 答案　C 解析　点A与A′关于xOz平面对称，即AA′⊥平面xOz.且A、A′到面xOz的距离相等，所以A与A′的x，z的值相同，y的值互为相反数． 2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 答案　B 解析　∵b＝x－2