选修2-1数学学案：3.1.2　空间向量的数乘运算.doc

§3．1.2　空间向量的数乘运算 知识点一 空间向量的运算  (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值. 解 (1)方法一 取AA′的中点为E,则  又取F为D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′),则D′F = ∴ + + =+ + = 方法二 取AB的三等分点P使得, 取CC′的中点Q,则 + += (2) = = = ∴α＝，β＝，γ＝. 【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法． 成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设 ＝ a，＝b，＝c，试用a、b、c表示 解 = ＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b) ＝－a＋b＋c 知识点二 共线问题其中m+n=1，则（ ） A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 与与的方向一定相同 答案　A 因为≠ 0 .所以和共线，即点A，P，B共线，故选A. 【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线； （2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线. 已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点， 求α+β的值. 解 ∵A、B、P三点共线，由共线向量知， = t 由= ，= 代入得： ； 又由已知∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.知识点三 共面问题 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH. 证明 ∴ ∵, 不共线， ∴ 共面且有公共点G， ∴E，F，G，H四点共面. （2） ∵与不共线， ∴，，共面． 由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH. 【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． 　 证明 △AMQ中, = CNP中, =  所以,所以M,N,P,Q四点共面. 课堂小结： 1．向量共线的充要条件及其应用 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义． (2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a. (3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上． ＝λ或＝μ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线． 2．向量共面的充要条件的理解 ＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． (2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据． 一、选择题 1．下列命题中是真命题的是() A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 满足 | || |，且 与 同向，则  D. 若两个非零向量 与满足+ = 0，则∥ 答案 D 解析 A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关． 这种写法． + = 0 ,∴ = ， ∴与共线，故∥，正确. 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( A．＋＝ B．－＝ C．＝ D．||＝|| 答案 C 3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( A．＝2－－ B．＝＋＋C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 答案　C ＝ x ＋ y，则M与点A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足＝x＋y，故选C. 4