选修2-1数学学案：3.2 立体几何中的向量方法 （三）——　利用向量方法求距离.doc

§3.2　立体几何中的向量方法(三) ——　利用向量方法求距离 知识点一　求两点间的距离 　已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离． 解　方法一　 过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， 则由已知条件可知AC＝5， ∴DE＝＝，BF＝＝. ∵AE＝＝＝CF， ∴EF＝5－2×＝， ∴＝＋＋. ||2＝ (＋＋)2＝2＋ 2＋2＋2·＋2·＋2·. ∵面ADC⊥面ABC，而DE⊥AC， ∴DE⊥面ABC，∴ DE⊥BF, ⊥, ||2＝2＋2＋2＝＋＋＝， ∴||＝. 故B、D间距离是. 方法二　 同方法一．过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图． 则由方法一知DE＝FB＝， EF＝，∴D，B， ∴＝， | |＝ ＝. 【反思感悟】　求两点间的距离或某线段的长度的方法： (1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝求解． 　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )． (1)求MN的长； (2)当a为何值时，MN的长最小． 解　(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1) ∵CM＝BN＝a(0a)， 且四边形ABCD、ABEF为正方形， ∴M(a,0,1－a)，N(a，a,0)， ∴|＝(0，a，a－1)，∴||＝. (2)由(1)知MN＝， 所以，当a＝时，MN＝. 即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为. 知识点二　求异面直线间的距离 　如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，求异面直线AB与EB1的距离． 、所在直线分别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系．由于BC＝1，BB1＝2， AB＝，∠BCC1＝， 在三棱柱ABC—A1B1C1中有B(0,0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，)，由EA⊥EB1，得·=0， 即·＝0， 得＝0，即a＝或a＝(舍去)， 故E. 设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量， 由题意可设n＝(x，y,0)， =0. 易得n＝(，1,0)， ∴两异面直线的距离d＝ ＝＝1. 【反思感悟】　求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解． 　 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离． 解　以A为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)． ∴|＝(－3,2,1)，＝(0,4，－2)． 设MN、A1B公垂线的方向向量为 n＝(x，y，z)， 即. 令y＝1，则z＝2，x＝， 即n＝，|n|＝. ＝(－3，－2,2)在n上的射影的长度为 d＝故异面直线MN与A1B的距离为. 知识点三　求点到平面的距离 　在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离． 解　 如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 则A，B， C，D， ∴， ＝，＝， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则， ∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1,3)， 代入d＝，得d＝＝， 即点D到平面ABC的距离是. 【反思感悟】　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可． 　 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离. 解　如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)， ＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)， ∴＝， ＝， ∴EF∥MN，AM∥BF， ∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 解得. 取z＝1，得n＝(2，－2,1)，