选修2-1数学学案：3.2 立体几何中的向量方法 （二）——　利用向量方法求角.doc

§3.2　立体几何中的向量 (二) ——　利用向量方法求角 知识点一　求异面直线所成的角 　已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值． 解　如图所示， = a， = b， = c. 则| a | = | b | = | c | =1， 〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60°, ∴a·b = b·c = a·c = ， 而 = + = a + c.  = + = b + c, ∴|| ＝ ＝ ，| | ＝. ∴· ＝· ＝a·b－a·c－b·c＋c2＝， cos〈，〉＝ , ∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是. 【反思感悟】　在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便. 　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值． 解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、 E(1,0,2)、F(1,1,2)，由＝(－1,0,2)， ＝(1，－1,2)，得|| ＝，|| ＝. ∴ ·＝－1＋0＋4＝3. 又· = ||·||·cos〈,〉 = cos〈,〉, ∴cos〈,〉=, ∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为 知识点二　求线面角 　正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． 解　方法一　 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)， A1(0,0，a)，C1，取A1B1中点M，则M，连结AM、MC1，有 ＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，· = 0，· = 0， ∴MC1⊥面ABB1A1. ∴∠C1AM是AC1与侧面A1B所成的角θ. ∵ = , ＝，∴·＝0＋＋2a2＝. 而|| ＝＝a， ||＝＝a， ∴cos〈〉＝＝. ∴〈 ， 〉＝30°， 即AC1与侧面AB1所成的角为30°. 方法二　(法向量法)(接方法一) ＝(0,0，a)，＝(0，a,0)， 设侧面A1B的法向量n＝(λ，x，y)． ∴n·＝0且n·＝0∴ax＝0，且ay＝0. ∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)． ∵ ＝， ∴cos〈 n〉＝. 设所求线面角为θ，则sinθ＝|cos〈.，n〉|＝，θ＝30°.　 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦． 解　由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． ＝(0,0,1)， ＝(－1，－1,1)． 是底面的法向量，它与已知向量是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，故有sinθ＝cosβ＝＝＝， 于是cosθ＝＝. 知识点三　求二面角 　如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值． 解　以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y,1)， 因为＝(0,2,1)，＝(3,3,0)， 由 得， 所以，于是n1＝(，－，1)． 又因为平面ABE的一个法向量为 n2＝(1,0,0)， 所以，cos〈n1，n2〉＝＝. 所以，二面角A－BE－D的余弦值为. 【反思感悟】　几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用． 　若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A—PB—C的余弦值． 解　 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)， ＝(，0,0)， ＝(0，－1,1)， 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z) 则 ， 令x＝1，则m＝(1，－，0)． 设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则 . 令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)． ∴cos〈m，n〉＝＝. ∴二面角A—PB—C的余