选修2-1数学学案：3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示.doc

§3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示 知识点一 向量基底的判断 已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？ 解∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底． 假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y， 使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b. 从而由共面向量定理知，c与a，b共面． 这与a、b、c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面． 【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底． 以下四个命题中正确的是() A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案B 解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B. 知识点二 用基底表示向量 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： （1） ；(2)； (3) ；(4). 解连结AC、AD′. = = ＝(a＋b＋c)；(2)＝(＋) ＝a＋b＋c； (3) (＋) ＝[( ) ＋(＋)] ＝(＋2＋2)＝a＋b＋c； () ＝＋＝＋(－) ＝＋＋＝a＋b＋c. 【反思感悟】利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则． 已知三棱锥A—BCD. (1)化简(＋－)并标出化简结果的向量； (2)设G为△BCD的重心，试用，，表示向量. 解＋－)＝ ＋－＝. ＝＋＋ ＋(－)＝＋ ＝·( ＋)＋ ＝( ＋＋)． 知识点三 求空间向量的坐标 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求 的坐标． 解 ∵PA=AB=AD=1， 且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB， ∴可设 ＝i，＝i， ＝j，＝k. 以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． ∵ ＝＋＋ ＝－ ＋＋ ＝－＋＋(－＋＋) ＋＝k＋ ＝i＋k， ∴ ＝ . 【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角． ，|AO| = 4，|BO|= 2， |AA1| = 4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标. 解 ∵; 又= 4，||＝4，||＝4，||＝2，∴＝(－2，－1，－4)， ＝ (－4,2，－4)．课堂小结： 1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量． 2．对于＝(1－t)＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面． 3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0. 一、选择题 1．若存在实数x、y、z，使－*6]＝(1－t)＝x＋y＋z成立，则下列判断正确的是() A.对于某些x、y、z的值，向量组{}不能作为空间的一个基底 B.对于任意的x、y、z的值，向量组{}都不能作为空间的一个基底 C.对于任意x、y、z的值，向量组{ }都能作为空间的一个基底 D.根据已知条件，无法作出相应的判断; 答案A 解析 当 、、、不共面时，，，也不共面，，，能构成空间的一个基底，当，，共面时，则，，也共面，故不能构成空间的一个基底． ＝x＋y＋z，则(x，y，z)为() A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) 答案A 解析 ，因为＝＝(＋)＝＋×[(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝.故选A. 3．在以下3个命题中，真命题的个数是() ①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； ②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b