选修2-1数学学案：3.1　空间向量及其运算.doc

第三章间向量与立体几何 §3.1　空间向量及其运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量概念的应用 　给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；; ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆； ②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同； 与与的方向相同，模也相等，应有＝； ④真命题．向量的相等满足递推规律； ⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C. 答案　C 知识点二　空间向量的 ） ( ) 解 方法一 （ ）()=+ =+++=（+）+（+）=+=0。 方法二 （）()=+ =（）+（）=+=0。 在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，试用 b，c，d表示向量，、，，和。 解 如图所示 =+=db, =+=cb, =+=dc, =(+) =(b d+cd)= (b+c2d), =+=d+, =d+( b+c2d)=(b+c+d). 知识点三　证明共线问题 　已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且=,=.求证：四边形EFGH是梯形. 证明 ∵E、H分别是AB、AD的中点 所以 =,=, =-= =()= =（-）={-} =（）=,∴四边形EFGH是梯形. 知识点四　证明共面问题，，是共面向量. 证明 方法一 如图所示.=+ + = +- =（ ）。 由向量共面的充要条件知，，，是共面向量。 方法二　连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)， 则有FGDD1，BE DD1， ∴FGBE. ∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD. ∴，，都与平面A1BD平行 ∴，，共面. 知识点五　数量积的运算 　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算·;(2) ·;(3) ·. 解 (1）·=·||=||·||·cos·60°=,所以·=, （2）·=||·||·cos,=×1×1×cos0°=, 所以 ·=,(3) ·=· =||·||·cos,=×1×1×cos120° =-， 所以 ·=-， 知识点六　数量积的应用 　已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．=a, =b, =c, 则a·b=b·c=c·a=， |a|=|b|=|c|=1，=(a+b),= c-b, ·=(a+b)·{c-b} ={a ·c + b·c - a·b -|b|2 } = ×{ + - - 1 } = -, ∴cos〈,〉=== ∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离． 　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. = a ， = b，= c ， 则a·b = 0， b·c = 0， c·a = 0， 且|a| = |b| = |c| ， 而 =+=+(+)=e + (a + b), = - = b – a , = + =(+) + = (a + b ) - c ∴· = { c + a + b}·(b –a ) = c·( b – a ) + ( a + b) ·( b – a ) = c·b - c ·a + (|b|2 - | a |2 · = { c + a +b} – { a + b - c} =( |a|2 +|b|2) - |c|2=0 ∴A1O平面BDG 知识点七　空间向量的坐标运算 　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐 = ( ); (2) = ( ); 解 = （2，6，3），=（4，3，1）。 （1）=( ) =(6 , 3 , 4 )={3,, 2}, 则P点的坐标为{3，，2）. (2)设P（x,y