选修2-1数学教案：3.2立体几何中的向量方法.doc

PAGE 3. 2立体几何中的向量方法 教学目标： 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法 掌握向量作为工具解决立几问题的方法 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质 重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程： 相关知识与能力： 一.空间距离的计算 1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=|| abnABd2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点A? a b n A B d 则异面直线a、b间的距离 即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。 3.点（或线）到平面的距离： PαP P α P0 d O θ β P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离 2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。 二.空间角度的计算 1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ， ∥l2，则l1与l2所成的角 α=，或α=л -， （0α≤） cos，=或 cosα= （0α≤） 2. 斜线P0P与平面α所成的角θ 3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为 或 （如何确定？） 典例分析： α B CD β A 例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C α B C D β A （1）求证：EF⊥B1C； （2）求EF与C1G所成的角的余弦； （3）求FH的长。 解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，） F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0） ∵ ∴ 则即 （2） ∴ 由（1）知 故EF与所成角的余弦值为 （3）∵ H为C1G1的中点 ∴ H（0，），又F（） ∴ 即 例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。 （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。 解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2） （2）∵ ∴ ， ∴ 与所成的角的余弦值为 例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。 解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。 （1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG 依题意得A（），P（0，0，a），E（） ∵ 底面ABCD是正方形 ∴ G是此正方形的中心 故点G的坐标为（）且， ∴ ，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB ∴ PA//平面EDB （2）证明：依题意得B（）， 又，故 ∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD （3）解：设点F的坐标为（），，则 ∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小为 巩固练习： 1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。 （1）求证：EF//平面PAD； （2）求证：EF⊥CD； （3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。 2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点， （1）求证：平面ADE； （2） 作业布置： 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。 2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。 （1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD； （2）求二面角的余弦值。 教学反思： 在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法. 3.2立体几何中的向量方法 课前预习学案 预习目标： 向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法 向量作为工具解决立几问题的方法 预习内容： 一.空间距离的计算 1. 空间两点间的距