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教案 湖南大学
湖南大学教案
编号:5????????
课时安排:?? ?学时
?教学课型:理论课? 实验课□? 习题课□? 实践课□? 其它□
题目(教学章、节或主题):
教学目的要求(分掌握、熟悉、了解三个层次):
利用变形关系、物理关系和静力平衡关系提高构件弯曲强度的主要措施是:减小最大弯矩;提高抗弯截面。
教学内容(注明:*重点?? #难点? ?疑点)梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时,这种弯曲称为横弯曲。剪力是横截面切向分布内力的合力;弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明,其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素讨论Q = 0,M = 常数的弯曲问题,这种弯曲称为纯弯曲。
2、纯弯梁横截面上的正应力,需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线,和与轴线平行的纵线,然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶,使梁发生弯曲变形。可以发现梁表面变形具有如下特征:
(1) 横线(m-m,n-n)仍是直线,只是发生相对转动,但仍与纵线(a-a,b-b)正交。 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线,且梁的一侧伸长,另一侧缩短。根据上述梁表面变形的特征,可以作出以下假设:梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直于变形后梁的轴线,只是绕着梁上某一轴转过一个角度。这一假设称平面假设。此外,还假设:梁的各纵向层互不挤压,即梁的纵截面上无正应力作用。 根据上述假设,梁弯曲后,其纵向层一部分产生伸长变形,另一部分则产生缩短变形,二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层,这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力;中性轴上各点的应力为零。平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律 即:纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。根据以上分析,梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设,所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料,根据胡克定律 (a)式中、均为常数,上式表明:纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布弯矩M 作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z 的微面积dA上有作用力。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力 N 以及对z 轴的力矩Mz: () 在纯弯情况下,梁横截面上只有弯矩,
将式()代入式(),有 得到 () 其中 称为截面对z轴的惯性矩;称为截面的抗弯刚度。式()表明,梁弯曲的曲率与弯矩成正比,而与抗弯刚度成反比。 将式()代入(),得到纯弯情况下的正应力计算公式 ()上式中正应力的正负号与弯矩及点的坐标y 的正负号有关。实际计算中,可根据截面上弯矩的方向,直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力,哪一侧产生压应力,而不必计及和y的正负。l/h5时,仍可按纯弯曲公式计算,其误差不超过1%。
3、弯曲正应力的强度条件及应用
根据前节的分析,对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响,因截面上的最大正应力作用点处,弯曲剪应力为零,故该点为单向应力状态。为保证梁的安全,梁的最大正应力点应满足强度条件 ()式中为材料的许用应力。对于等截面直梁,若材料的拉、压强度相等,则最大弯矩的所在面称为危险面,危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件()可表达为 ()式中 ()称为抗弯截面系数(或抗弯截面模量),其量纲为[长度]3。国际单位用m3或mm3。 对于宽度为、高度为的矩形截面,抗弯截面系数为 ()直径为的圆截面,抗弯截面系数为 ()内径为,外径为的空心圆截面,抗弯截面系数为 , () 轧制型钢(工字钢、槽钢等)的可从型钢表中查得。 对于由脆性材料制成的梁,由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大,所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。 根据式(),可以解决三类强度问题,即强度校核,截面设计和许用载荷计算 弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条件 () 改变加载的位置或加载方式 首先,可以
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