矩阵论的应用线性系统稳定性的分析.doc

矩阵论的应用—线性系统稳定性的分析 马宇 （学院：控制学院 专业：控制工程与控制理论 学号：2012210180） 摘要：稳定性是系统的一个基本结构特性。稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于大多数情况，稳定是控制系统能够正常运转的前提。本文主要讨论应用矩阵论的理论知识来分析内部稳定性，重点论述稳定性理论中最具重要性和普遍性的李亚普诺夫第二方法。 一 稳定性的基本定义 稳定（李亚普诺夫意义下的稳定） 定义：对于系统，如果给定任何一实数，都相应地存在另一实数，使由满足不等式 二 李亚普诺夫第二方法的主要定理 李亚普诺夫第二方法是建立在这样一个直观的物理事实上的，任何一个系统或物体之所以有运动，无非是因为它具有能量的缘故。如果系统在运动过程中，其内部贮存的能量随着时间的增加而逐渐减小，一直到运动平衡状态处，系统的能量耗尽或变得最小，那么系统自然将在此平衡状态处渐近稳定。即有由于实际系统很难找到一个统一的、简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数，李氏认为在判断一个系统的稳定时，不一定非要找到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就可根据它来判断系统的稳定性了。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示。若与 t 无关，可用表示。在多数情况下，常取二次型函数作为李氏函数其中P为实对称阵。 定理1：设系统状态方程为 如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数，对具有连续的一阶倒数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件： 而且在某处恒为零。 则系统方程（1）的平衡状态是稳定的。 定理2：系统如（1）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件: 定理3：系统如（1）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件: 定理4：系统如（1）所示，如果它在原点的某邻域内，存在一个标量函数对t具有连续的一阶导数存在，对具有连续的一阶偏导数存在，且满足如下条件: 三 李亚普诺夫判据 线性定常系统零平衡状态为渐近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的李亚普诺夫矩阵方程 (2) 有唯一正定对称矩阵解P。 证明：充分性：考虑系统 其中， 令 如果则大范围渐近稳定。充分性得证。 再证必要性：已知渐近稳定，欲证解阵P正定。为此，考虑矩阵方程： （3） 易知，解阵X为 对式(3)由t=0至t=进行积分，可得 且由系统为渐近稳定知，当有,从而由导出.基此，并考虑到,再表，可将式(3)进而表为这就表明， 为李亚谱诺夫方程解阵。且由存在惟一和可知， 存在惟一。而由 可知为对称。再对任意非零，有 (4) 其中，可表正定,N为非奇异。基此，由式(4)可进而导出： 从而，证得解阵P为惟一正定。证明完毕 对李亚普诺夫判据作几点说明： （1）对（2)式中的Q只要是正定对称矩阵就行，其形式可任意给定。且最终 的判断与 Q 的不同选取无关。（2）为方便起见，通常选取 Q=I（单位阵），这样可将判据改述为：线性定常系统的平衡状态 X=0 为渐近稳定的充分必要条件为存在一个正定矩阵P ，使满足矩阵方程。（3）当系统矩阵A 给定后，可用（2）式确定 P 。P 正定，平衡状态为渐近稳定。 例：分析下列系统稳定性 解： 令 则由，得： 解上述矩阵方程，有 即得 因为 可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。 四 应用小结 本文主要采用了矩阵论中的矩阵初等计算，矩阵的转置，正定实对称矩阵，求解矩阵方程中的推论二（设，且的所有特征值具有负实部，则矩阵方程的惟一解为。如果是Hermite正定矩阵，则解矩阵也是Hermite正定矩阵。）及正定矩阵的判断等知识，来解决线性系统中的稳定性分析问题。这些知识使本来很复杂很抽象的线性系统稳定性的判断变得更简单更直观。