- 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
第二章傅立叶变换数学三棱镜
第二章 傅立叶变换 — 数学三棱镜
一.FT发展史
1.Joseph Fourier,1807,研究热传导和扩散,发现各次正弦谐波非常适于表示体温分布,指出任何周期信号均可用各次正余弦表示,1812获奖。
2.质疑期
Lord Kelvin
Lagrange:三角级数不可能表示尖锐形状信号
3.傅立叶理论延伸:周期信号 → 非周期信号
4.丰富完善期:Dirichlet(1829)
狄氏条件:①任意有限区间内,存在有限个一类间断点
②一个周期内,有限个极值点
5.蓬勃应用至今
①正余弦波是自然界最常见波形
原因 ②理论体系非常完美:完备正交基
③简单:内积展开
①解释信号的频谱分布,类似于prism,如电磁波谱
应用 ②深刻影响数字和物理两个基础学科:如 解微分方程,卷积,量子力学测不准原理解释
③各个行业普遍使用:无线电台,外星系辐射
6.局限性:P2倒数第二段 时间定位性差
2.1 框架理论
一.信号信息的提取
1.提取方法:与一组已知函数进行内积运算
连续内积:Cn=S,=
离散内积:Cn=S,=
2.内积的理解
①衡量信号与已知函数的相似度 — 匹配、数字尺度、权重
②矢量意义:平方程度,垂直程度
二.框架(对函数集的限制)— 用于信号完整性、稳定性及冗余表示
1.框架的引入:从两个角度论证框架的形成(两个信号Si,Sk)
A 0<A≤B<∞
则形成一个框架(一对向量族,函数族的限定)
A=B 紧框架
对偶函数与信号重构
S= (比喻)
:elementary function
: dual function
Cn= — 分析 变换 分解
S= — 综合 反变换 重构
对偶函数的框架
0<A≤B<∞
信号既可用重构,也可用重构
框架的紧缩程度决定了对偶是否唯一(A=B=1时唯一)
A=B,可选= S=
紧框架与信号冗余表示:A越大,冗余性越高
A=B=1,生成正交基,无冗余
双正交基与正交基 — ,间的内积关系定义
双正交
正交 = ①,自对偶
②正交是双正交的特例
③k=1:规范正交
5.信号分解与重构的矩阵表示
:M×1
N≥M 分解矩阵G:N×M N≥M
重构矩阵H:M×N
N=M,分解矩阵G形成基,G,H均为方阵,G和H的各向量满足双正交关系
N=M,G=H,分解矩阵形成正交基,这时G=
举例
例2.1: 对任意一个二维信号用三个基向量表示
表明:①三个基向量{}生成一框架,且是紧框架 A=
②该框架不够紧,A=>1,表示有信息冗余,原因三者线性相关
③对偶不唯一,当初始向量与对偶向量选为一致时,系统达到最小范数
内积与卷积相关
1.相关
2.卷积(滤波)
例2.2
基波数字角频率 n 谐波次数(基函数序号)
m 离散序号
N≥M 线性相关,框架界A=,冗余
N=M 形成正交基
N<M M维空间不完备
对进行分析,m=0,1,2,3,…127
N=M ,基函数正交基,,其它
N=2M=256,基函数,,其它
谱泄漏发生
三.框架问题的深入讨论
1.紧框架有助于计算展开系数,且其系数具有最小范数
S=
反例:STFT中框架不紧,展开系数不易求
2.对于=正交基情况,Cn即为信号在投影,物理意义明确
(,同时具有明确物理意义)
反例:非正交情况,难以反映信号特性
3.线性独立的紧框架可以形成正交基,变换后信息表示无冗余。(例2.2)
4.双正交分解表示虽然也无冗余,但系数物理意义模糊。
5.两种特殊框架
①FT: =复指数函数,规范正交基
②Sinc函数: = 规范正交基,采样定理的理论基础
Cn=
6.基本函数的期望特性
①频域能量最优集中 傅立叶变换
②能同时表征信号时频特性,如Gabor展
文档评论(0)