第二章傅立叶变换数学三棱镜.doc

第二章 傅立叶变换 — 数学三棱镜 一．FT发展史 1.Joseph Fourier,1807,研究热传导和扩散，发现各次正弦谐波非常适于表示体温分布，指出任何周期信号均可用各次正余弦表示，1812获奖。 2.质疑期 Lord Kelvin Lagrange:三角级数不可能表示尖锐形状信号 3.傅立叶理论延伸：周期信号 → 非周期信号 4.丰富完善期：Dirichlet(1829) 狄氏条件：①任意有限区间内，存在有限个一类间断点 ②一个周期内，有限个极值点 5.蓬勃应用至今 ①正余弦波是自然界最常见波形 原因 ②理论体系非常完美：完备正交基 ③简单：内积展开 ①解释信号的频谱分布，类似于prism，如电磁波谱 应用 ②深刻影响数字和物理两个基础学科：如 解微分方程，卷积，量子力学测不准原理解释 ③各个行业普遍使用：无线电台，外星系辐射 6.局限性：P2倒数第二段 时间定位性差 2.1 框架理论 一．信号信息的提取 1.提取方法：与一组已知函数进行内积运算 连续内积：Cn=S,= 离散内积：Cn=S,= 2.内积的理解 ①衡量信号与已知函数的相似度 — 匹配、数字尺度、权重 ②矢量意义：平方程度，垂直程度 二．框架（对函数集的限制）— 用于信号完整性、稳定性及冗余表示 1.框架的引入：从两个角度论证框架的形成（两个信号Si，Sk） A 0＜A≤B＜∞ 则形成一个框架（一对向量族，函数族的限定） A=B 紧框架 对偶函数与信号重构 S= （比喻） ：elementary function : dual function Cn= — 分析 变换 分解 S= — 综合 反变换 重构 对偶函数的框架 0＜A≤B＜∞ 信号既可用重构，也可用重构 框架的紧缩程度决定了对偶是否唯一（A=B=1时唯一） A=B,可选= S= 紧框架与信号冗余表示：A越大，冗余性越高 A=B=1，生成正交基，无冗余 双正交基与正交基 — ，间的内积关系定义 双正交 正交 = ①，自对偶 ②正交是双正交的特例 ③k=1：规范正交 5.信号分解与重构的矩阵表示 :M×1 N≥M 分解矩阵G：N×M N≥M 重构矩阵H:M×N N=M,分解矩阵G形成基，G,H均为方阵，G和H的各向量满足双正交关系 N=M,G=H,分解矩阵形成正交基，这时G= 举例 例2.1： 对任意一个二维信号用三个基向量表示 表明：①三个基向量{}生成一框架，且是紧框架 A= ②该框架不够紧，A=＞1，表示有信息冗余，原因三者线性相关 ③对偶不唯一，当初始向量与对偶向量选为一致时，系统达到最小范数 内积与卷积相关 1.相关 2.卷积（滤波） 例2.2 基波数字角频率 n 谐波次数（基函数序号） m 离散序号 N≥M 线性相关，框架界A=，冗余 N=M 形成正交基 N＜M M维空间不完备 对进行分析，m=0，1,2,3，…127 N=M ,基函数正交基，,其它 N=2M=256，基函数，,其它 谱泄漏发生 三．框架问题的深入讨论 1.紧框架有助于计算展开系数，且其系数具有最小范数 S= 反例：STFT中框架不紧，展开系数不易求 2.对于=正交基情况，Cn即为信号在投影，物理意义明确 （，同时具有明确物理意义） 反例：非正交情况，难以反映信号特性 3.线性独立的紧框架可以形成正交基，变换后信息表示无冗余。（例2.2） 4.双正交分解表示虽然也无冗余，但系数物理意义模糊。 5.两种特殊框架 ①FT: =复指数函数，规范正交基 ②Sinc函数： = 规范正交基，采样定理的理论基础 Cn= 6.基本函数的期望特性 ①频域能量最优集中 傅立叶变换 ②能同时表征信号时频特性，如Gabor展