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MBA线性代数学习笔记
备考MBA线性代数学习手记
第二章 矩 阵
1.矩阵的相抵( 或等价) 标准形
定义 设A 经过初等变换可化为B 就称A 相抵于B (A 等价于B) 记作A B .
mn
相抵关系 是一个等价关系 A B 即存在m 阶初等矩阵P ,P ,,P 和n 阶初等矩阵
1 2 s
Q ,Q ,,Q 使得
1 2 t
P P P AQ Q Q = B
s 2 1 1 2 t
A B 的充要条件是存在可逆矩阵P 和Q 使得PAQ=B( 或 秩(A)=秩(B) ).
定理 若秩(Amn )= r 则存在可逆矩阵P 和Q 使得
Er O1
PAQ Ur
O O
2
其中E 为r 阶单位矩阵 O 是r (n-r)零矩阵 O 是(m-r)r 零矩阵, O 是(m-r)(n-r)零矩阵.
r 1 2
称矩阵 U 为A 的相抵(或等价)标准形 所有秩为r 的m·n 矩阵都相抵于 U .
r r
定理 设A 为n 阶矩阵 则下列命题等价:
(1) A 可逆 称A 为非奇异
(2) r(A ) = n (称A 为满秩);
(3) A 的n 个列(行) 向量线性无关
(4) 齐次线性方程组AX =0 只有零解;
(5) A0 即det(A) 0 .
2. 关于秩的几个不等式
(1) 秩(A+B) 秩(A)+秩(B)
(2) 秩(AB) min(秩(A),秩(B))
(3) 如果P, Q 分别是m, n 阶可逆矩阵, A 为mn 矩阵 则
秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)=秩(A)
( 因为: PAA, 所以秩(PA)=秩(A) ; 或由A=P 1 (PA) 即得:秩(A)秩(PA)秩(A) )
(4) A 为mn 矩阵 B 为ns 矩阵,
若AB=O 则 秩(A)+秩(B) n
(5) 秩(AB)秩(A) 秩(B) n.
A O
(6) r r(A) r(B)
O B
备考MBA 线性代数学习手记 矩阵
例题
1 求如下方程组的一般解
x 1 x 2 x 3 3 x 5 0
2 x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 4 x 5 0
3 x 3 x x 4 x 5 x 0
1 2 3 4 5
x x x x 8 x 2
1 2 3 4 5
1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 7 0
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