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第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则， 则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义 （数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对 复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ）， 必有 ，则称K为一个数域。 K K b a ±ba∈ K ，ab ∈ ，且当0 ≠/ 时， b ∈ 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = { i a b + | ∈Q}，其中 i = a b, −1 。 命题 任意数域K都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素a K a ∈ ，且 ≠0 。于是 a − =∈ a a0 ∈K ， 1 K 。 a ∀ ∈m 进而 Z 0 , 1 1 m 1+ +……+ ∈K 。 m m m 最后， Z ， ∀ m∈n , 0=− ∈K−，∈ 0 K 。这就证明了Q ⊆K 。证毕。 n n n 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的 交集，记作A ∩B ；把A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做 A ∪B ；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集， 记做 A \ B 。 定义 （集合的映射） 设 、 A B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则 f 下对应B 中唯一确定的元素（记做f (a ) ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 f :A B , → a f