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2.2 解析函数与调和函数的关系71061
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数
沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。
又称为保守场或者梯度场或者有势场。
(1) 无旋场
考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。
一、调和函数
引例
设该力场为
(1) 无旋场
(2) 无源场
散度为零，
一、调和函数
且满足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程：
有
(?)
一、调和函数
二、共轭调和函数
条件是：
在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。
则称 v 是 u 的共轭调和函数。
三、构造解析函数
(1) u 和 v 本身必须都是调和函数；
(2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。
三、构造解析函数
( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 )
(1) 由 u 及 C - R 方程
(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：
得到待定函数 v
的两个偏导数：
方法
三、构造解析函数
(1) 由 u 及 C - R 方程得到待定函数 v 的全微分：
(2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数：
解
解
(2) 求虚部 。
解
(3) 求确定常数 c
解
由
解
(3) 求确定常数 c
则
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