2012高考数学一轮复习--三角函数的值域与最值 .ppt

(湖南师大附中内部资料)高三化学习总复习课件：高三第五次周考试卷分析课0801(课件)(培训课件)班组建设与5S管理培训多媒体计算机系统常用硬件设备教材 (湖南师大附中内部资料)高三化学习总复习课件：高三第五次周考试卷分析课0801(课件)(培训课件)班组建设与5S管理培训多媒体计算机系统常用硬件设备教材 * 一、高考要求 1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等, 求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值. 3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决. 最值问题是三角函数中考试频率最高的重点内容之一, 需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的重要交汇点, 常见方法有: 1.涉及正、余弦函数以及 asin?+bcos?, 可考虑利用三角函数的有界性. 二、重点解析 2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通过适当变换、配方求解. 3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法处理. 三、知识要点 常见的三角换元 1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos?, y=sin?; 2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos?, y=rsin?, 即有a≤r2≤b; 3.对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos?(0≤?≤?) 或 x=sin? (- ≤?≤ ); 2 ? 2 ? 4.令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t?[- 2, 2 ]. 1.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x (1)求 f(x) 的最小正周期; (2)若 x?[0, ], 求 f(x) 的最大值、最小值. 2 ? 解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x = 2 cos(2x+ ). 4 ? ∴f(x) 的最小正周期为 ?. (2)∵x?[0, ], 2 ? ∴2x+ ?[ , ]. 4 ? 4 ? 4 5? ∴当 2x+ = , 即 x=0 时, f(x) 取得最大值 1; 4 ? 4 ? ∴当 2x+ =?, 即 x= 时, f(x) 取得最小值 - 2 . 4 ? 8 3? 四、检测反馈题 解: 由y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19. 2.设 0≤x≤?, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最小值. 令 t=sinx+cosx, 则 t= 2 sin(x+ ), y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2. 4 ? ∵0≤x≤?, ∴ ≤x+ ≤ . 4 ? 4 ? 4 5? ∴-1≤t≤ 2 . ∴- ≤sin(x+ )≤1. 4 ? 2 2 ∴当 t=-1, 即 x=? 时, y 取最大值 27. 当 t= 2 , 即 x= 时, y 取最小值 20-8 2 . 4 ? 四、检测反馈题 3.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinx?cosx+a+b(a?0) 的定义域为[0, ], 值域为 [-5, 1], 求常数 a, b 的值. 2 ? 解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b =-2asin(2x+ )+2a+b. 6 ? 由已知 x?[0, ], 2 ? ∴2x+ ?[ , ], 6 ? 6 ? 6 7? ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 6 ? 1 2 因此由 f(x) 的值域为 [-5, 1] 可得: a0, -2a×(- )+2a+b=1, 1 2 -2a×1+2a+b=-5, a0, -2a×(- )+2a+b=