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2013届高考理科数学总复习第1轮广西专版课件:9.4线面垂直与面面垂直(第2课时)
第九章 直线、平面、简单几何体;1. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论;
(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM;; (3)若在BC边上至少存在一点M,
使PM⊥DM,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,
四边形ABCD为正方形,
则BD⊥AC.
又因为PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,
所以BD⊥PA,
所以BD⊥平面PAC.
故当a=2时,BD⊥平面PAC.; (2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,
AD边的中点N,连结AM、DM、MN,
因为四边形ABMN和四边形DCMN都是
正方形,所以∠AMD =∠AMN+ ∠DMN
=45°+45°=90°,即DM⊥AM.
又PA⊥底面ABCD,
由三垂线定理得PM⊥DM.
故当a=4时,BC边的中点M使PM⊥DM.;(3)设M是BC边上符合题设的点M,
因为PA⊥底面ABCD,所以DM⊥AM,
因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边
的一个公共点,则AD≥2AB,
即a≥4为所求.;点评:本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此,立体几何解题中,要注意有关的平面几何知识的运用.事实上,立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.探究空间的垂直(或平行)的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索性题.此类题是垂直(或平行)问题中的逆向问题,可利用垂直(或平行)的性质逆推得出结论成立的一个条件.; 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA ⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠AB C =60°,PA=AB=BC,E是线段PC上的一点.
(1)证明:CD⊥AE;
(2)当E在PC什么位置时
PD⊥平面ABE?;解:(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,故PA⊥CD.因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC,
所以CD⊥AE.
(2)当E为PC的中点时,有PD⊥平面ABE.证明如下:由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.;由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD =C,
所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD,
所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,
PD在底面ABCD内的射影是AD,
AB⊥AD,所以AB⊥PD.
又AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.;2. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E为棱BB1
上一点.已知平面A1EC⊥平面A A1 C1C,
求证:BE=B1E.
证明:在平面A1EC内
过点E作EG⊥A1C,垂足为G.
因为平面A1EC⊥平面AA1C1C,
所以EG⊥平面AA1C1C.;取AC的中点F,连结BF.因为AB=BC,
所以BF⊥AC.
??为平面ABC
⊥平面AA1C1C,
所以BF⊥平面AA1C1C.
于是BF∥EG.连结FG.
因为BE∥平面AA1C1C,所以BE∥FG.
又BE∥AA1,所以FG∥AA1.;因为F为AC的中点,
所以G为A1C的中点,
所以 ,所以
又BB1=AA1,所以 ,
即BE=B1E.
点评:线面垂直的判定与性质反映了“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”三者之间的相互转化,也是证空间有关垂直的转化方向.如由“面面垂直”可得出“线面垂直”,而证“面面垂直”可转化为证“线面垂直”.; 在三棱锥P-ABC中,PA= PB= P C,∠APC=90°,∠APB=∠BPC=60°,D为AC的中点.过PA、PC
的中点A′、C′作平
面A′B′C′,使PD⊥
平面A′B′C′,交
PB于B′点.
求证:平面A′B′C′∥平面ABC.;证明:因为PA=PC,D为AC的中
点,所以PD⊥AC.①
设PA=a.由题设△PAB和
△BPC都是正三角形,
△APC是等腰直角三角形,
所以AB=BC=a,AC= a.连结BD,
易得PD=BD= AC= a,;从而PD2+BD2=a2=PB2,
所以PD⊥BD.②
结合①②知,PD⊥平面ABC.
由已知,PD⊥平面A′B′C′,
所以平面A′B′C′∥平面ABC.;在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AB =AC,
D为BC的中点,E
为AD上任意一点,
F为棱BB1上一点.
若C1F⊥EF,求 的值.;解:因为AB=AC,D为BC的中点,
所以AD⊥
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