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2015创新设计高中理科数学12-1
第1讲 合情推理与演绎推理;[必威体育精装版考纲]
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.;知 识 梳 理
1.合情推理
(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出 的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到 、由个别到 的推理.;(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到 的推理.
(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.;2.演绎推理
(1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.;辨 析 感 悟
1.对合情推理的认识
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确. (×)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理. (√)
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. (×)
(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(n∈N*). (×); (5)(2014·安庆调研改编)在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.
(√)
2.对演绎推理的认识
(6)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段???推理,但其结论是错误的.
(√)
(7)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. (×);[感悟·提升]
三点提醒 一是合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性是需要证明的.
二是在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误,如(3).
三是应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的.如(7).;考点一 归纳推理;答案 1 000;规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.;【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式:
则第5个不等式为________.
(2)(2013·陕西卷)观察下列等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式可为________.;解析 (2)由已知的三个等式左边的变化规律,得第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三个等式右边的变化规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n×1×3×5×…×(2n-1).;考点二 类比推理;规律方法 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:①找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;②找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.; 解析 由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=W′=(2πr4)′=8πr3.
答案 8πr3;考点三 演绎推理;规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.; A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
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