3.3多维连续型随机变量及分布.ppt

z 1 z = x z-1 = x x 2 1 ． ．　． ． z-1 z 0 1 y ． ．． ． z-1 0 z 1 y ． ． ． ． 0 z-1 1 z y ． ． ． ． 0 1 z-1 z y 解法二 概率论与数理统计 (湖南师大附中内部资料)高三化学习总复习课件：高三第五次周考试卷分析课0801(课件)(培训课件)班组建设与5S管理培训多媒体计算机系统常用硬件设备教材 概率论与数理统计 §3.3 连续型随机变量 概率论与数理统计 主要内容 一、二维连续型随机变量的概念 二、常见的二维连续型分布 一、 二维连续型随机变量分布及其密度函数 定义 设二维 r.v 的分布函数为F(x ,y ),若存在非负可积函数 p (x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有 则称 为二维连续型 r.v. ，p(x,y) 为 的联合概率密度函数，简称概率密度函数（p.d.f. ）. 1.定义 2.联合密度函数的性质 除 d.f. 的一般性质外还有下述性质 (1) (2) 从而有 对每个变元连续, 在 的连续点处 (3) 若G 是平面上的区域，则 (4) P( = a , = b ) = 0, P( = a ,- ? + ? ) = 0, P(- ? + ?, = a ) = 0. 3.边缘分布函数与边缘密度函数 与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定. 例1 设 的概率密度是 解 求边缘密度. 分段函数积分应注意其表达式 y x 0 1 y = x y = x2 在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分. 当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限 . 例2 设 r.v 的联合密度函数为 其中k 为常数. 求 常数 c ; 联合分布函数 F (x, y); 边缘密度函数与边缘分布函数， (4) 解 (1) 故 由 得 (2) (3) (4) 二、两种常用分布 1.均匀分布 设G 是平面上的有界区域, 面积为 A，若r.v. 的联合密度函数为 则称 服从区域G上的均匀分布，记作U ( G )。 注：（1）若 服从区域G上的均匀分布,则? G1 ? G, 设G1的面积为A1, y x o G 向平面上有界区域 G 内任投一质点，若质点落在 G 内任一小区域 B 的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. B 则质点的坐标 在 G 上服从均匀分布. . 若 分布，其联合密度函数为 相应的边际密度 由此说明，矩形区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布。其他形式不一定成立。 服从G上的均匀 （2）边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布。 y x -a 0 a 例3 设 服从椭圆域 上的均匀分布, 求 的边缘密度函数 解 由题知(X,Y )的概率密度为 同理可得 与 不服从均匀分布 二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的 例4 设 ~ G 上的均匀分布, p ( x, y ); P ( 2 ); 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率. 求： 解 (1) (2) y=x 1 0 x y 1 G y = x2 (3) y = x 1 0 x y 1 0.3 三、随机变量独立性 注:1、 2、随机变量的独立性可以推广到多个连续型随机变量的场合。 2.二维正态分布 若r.v. 的联合密度函