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大连理工大学应用数学系 数学与应用数学专业2005级试A卷答案 课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分 一、填空（每一空2分，共42分） 1．为了减少运算次数，应将表达式. 改写为； 2．给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为， 用Simpson公式求得的近似值为。 设函数，若当时，满足，则其可表示 为。 4．已知,则 , 0 ，逼近的Newton插值多项式为的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。 6．已知，则的Jordan标准型是或； 7．设是阶正规矩阵，则； 8．求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式） Euler法的显式化的格式为：。 9．设12为的近似值，且，则至少有 5 位有效数字； 10．将，化为的Householder矩阵为：； 11．； 12．用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。 13．若为Newton-Cotes 求积公式，则，若为Gauss型求积公式，则。 14．设，则在Schur分解中，可取为或。 15．设，则, 。 二、（8分）已知近似值，，均为有效数字，试估计算术运算的相对误差界。 解：由已知， ；；。 令 ，， 由函数运算的误差估计式 ++ 从而，相对误差可写成 ﹟ 三、（15分）设线性方程组： （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出（要有换元、消元过程）； （2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？ （3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。 解：（1） 故，，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足： ，则 ，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。 又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为： ，，则 ，故，从而Jacobi迭代法发散。 （3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。 Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 # 四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题，的数值方法 ①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解，。为使方法绝对稳定，求出步长的取值范围并以，初值，为步长，求出的近似值。 解：（1）注意，，从而 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：。 （2）令，，得，，满足根条件；又方法阶，故此差分格式收敛。 （3）又对于模型问题：(), 取 而要使得 的充要条件为： 而 自然成立。现在再由 得 由 ，可推出，即。# 五、（15分） （1） 用Schimidt正交化方法，构造上以权函数的正交多项式系：，，，; （2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式； （3） 利用2)的结果求出的数值解。 解：由，即应构造具有3个Gauss点的求积公式。首先 构造3次正交多项式，令 + ；令即得， ，得， 取，，，令 即得到方程组：，， 解之，得，，从而具有5次代数精度Gauss求积公式 （2），则有 六、证明题（5分）任选一题 1．设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。 （1）由题意，可知矩阵奇异。故奇异。 反证法，若存在某种范数，使得，则，则可知非奇异，与条件矛盾。 （2）由于有非零解，故对，取与向量的范数相容的矩阵范数，则由 得 。# 已知，求出，证明 收敛。 证明, ，由于 ，而 级数和均收敛，有矩阵级数收敛定义可知，收敛。﹟ -1- 姓名： 学号： 院系： 班级： 授课教师：张宏伟 装 订 线