方阵的行列式().PPT

第五章 矩阵与行列式 §5.3 方阵的行列式 方阵的行列式 行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算，其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式值，简称为方阵的行列式． 二阶行列式 对于二阶方阵 练习5.5 计算下列二阶方阵的行列式 三阶行列式 对于三阶方阵 练习5.5 计算下列三阶方阵的行列式 n阶行列式 对于n阶方阵 n阶行列式 三阶行列式可用二阶行列式表示如下 n阶行列式的定义 定义5.6 对于n阶方阵 构成的n阶行列式 练习5.7 计算下三角行列式 行列式的性质 行列式 称为矩阵A的转置行列式． 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零． 性质5.4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零． 性质5.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变． 练习5.8 计算 练习5.9 计算 行列式按行（列）展开 余子式 代数余子式 定理5.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 练习5.10 计算下列行列式 练习5.11 计算 定理5.2 设 均为 阶方阵，则 与 的乘积矩阵的行列式等于 的行列式与 的行列式的乘积．即 习 题 习题5.1 计算下列方阵的行列式 习题5.2 计算 自测题 1.行列式 的值为____. A) 0 B) -1 C) 1 D) 5 2.设D= , 则元素λ的代数余子式=____. A) 5 B) -5 C) 0 D) -14 3.若 ， 则 的值为____. A) -2 B) 2 C) 8 D) -8 4.若四阶行列式D中的第一行的元素依次为1，2，0，1，它们对应的代数余子式依次为2，–1，1，3，则D=_____. A) 0 B) 3 C) -4 D)以上都不对 5.设方阵A= ，求A的行列式 解： 解： 答案为 B 答案为 A 答案为 D 答案为 B * * 方阵 的行列式通常记作 ． 二阶、三阶方阵的行列式相应地称为二阶、三阶行列式． 规定二阶行列式的值为 二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积． 图5-1 解： 计算方法可按图5-2记忆，即实线连接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积． 规定三阶行列式的值为 图5-2 解： 其行列式记作 (a) (a)式给了我们一个启示： 高阶行列式可由低阶行列式来表示． (1) n=1时， ； 是一个数： (2) n1时， 按此定义的二阶、三阶行列式，与前面定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的． 解： 同理，上三角行列式的值也等于主对角线上的元素的乘积． 记 性质5.1 行列式与它的转置行列式相等． 例如 性质5.2 互换行列式的两行（列），行列式变号． 例如 以 表示行列式的第 行，以 表示第 列． 交换 两行记作 交换 两列记作 例如 性质5.3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式． 例如 第 行（列）提出公因子 ，记作 性质5.5 若行列式的某一行（列）的元素都可分成两数之和，则行列式可分成两个对应行列式的和． 例如 例如 如用数 乘第 行加到第 行上，记作 ． 例如 行列式关于行或列的运算 简化行列式的计算 把行列式中某些元素化为0 行列式化为上（下）三角行列式 行列式的值 解： 解：这个行列式的特点是各列4个数之和都是6．今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第一行： 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 ； 记 ，称为元素 的代数余子式． 例如 四阶行列式 中元素 的余子式和代数余子式分别为 或 利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算． 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则． 解： 解：