§7.第七章向量代数与空间解析几何第七章第3节平面及其方程(988KB).ppt

* 第七章 空间解析几何 6学时 第九章 重积分 12学时 第十章 曲线积分与曲面积分 14学时 第十一章 无穷级数 16学时 第十二章 微分方程 14学时 总复习 4学时 第八章 多元函数微分法及其应用 20学时 总计 88学时 内容与学时 高等数学实验 2学时 * 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 五、小结及作业 §7.3 空间平面及其方程 四、点到平面的距离公式 * 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 一、平面的点法式方程 * 平面的点法式方程 其中法向量 已知点 例1.求过三点 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 * 所求方程为： 平面的截距式方程 * * 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二、平面的一般方程 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平面一般方程的几种特殊情况： A x+C z = 0 表示 通过 y 轴的平面; ? C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示 平行于 xoy 面 的平面(或垂直于x 轴); 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 平面一般方程的几种特殊情况： C z = 0 表示 就是xoy 面 * * 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 三、两平面的夹角 * 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // * 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 * 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 * 设平面为 解 例7 求平行与平面 而与三个坐标 面围成的四面体体积为1的平面方程. * 例8 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 * 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. * 解 四、点到平面的距离公式 * * 点到平面距离公式 * * 平面的方程 （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. 点到平面的距离公式. 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （注意两平面的位置特征） 四、小结 * 练习与思考题 解答： * 已知一平面过点（－1，0，－3），且在三个 轴上的截距之比为 求此平面方程。 解：设所求方程为： 又知平面过点（－1，0，－3）于是有 所求平面方程为： 2、 * 3、一平面通过 x 轴，且与平面 的夹角为 求此平面方程。 解：由题意设所求平面方程为： 其与平面 的夹角为 由公式可得 平方后移项得： 代入所设平面方程： 所求平面方程为： 或 * P419 * P419 * P419 * P419