§2第2.2节函数极限的性质及运算法则(1467KB).ppt

1.无穷小量的运算与比较 性质1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量. 性质3 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量. 解 例22 例23 解 性质2 有限个无穷小量的积仍为无穷小量. 四、再谈无穷小 如, 它们不可比. 观察各极限 是无穷小. 2.无穷小量商的极限 不存在. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义 记作 记作 设f(x)和g(x)是同一过程中的两个无穷小,且g(x)≠0. 高阶的无穷小量; 低阶的无穷小量; 同阶无穷小量; 等价无穷小量, 证 当 时， 与 均为无穷小量， 又因为 所以， 证明：当 k 为非零常数， 时, 例24 其他常用等价无穷小： ， 利用等价无穷小替换求极限 定理1 设在自变量的某一变化过程中 且 存在， 则 证 例25 解 所以 . 推论 设 都是在自变量的同一变化过程中的无穷小量， 且 存在， 则 也存在， 且有 证 例26 解 例27 解 例28 解 所以有 一、极限性质 二、极限运算法则 三、极限存在准则和两个重要极限 四、再谈无穷小量 第2.2节 函数极限的性质及运算法则 定理1(极限的惟一性) 若 存在，则极限值必惟一. 定理2(局部有界性)若 存在，则 f(x)在x0的某去心邻域内有界. 定理3(局部保号性) 定理4 不能! 定理5 一、 极限性质 若定理4中的条件改为 是否必有 思考 定理1 1.极限四则运算法则 特别的, 二、极限运算法则 推论 则 如果 注 应用四则运算法则时,要注意条件,参加运算的是有限个函数, 它们的极限都存在,商的极限要求分母的极限不为0. 下面计算过程是否正确？ 解 例2 求 例1 求 解 小结 则有 则有 解 商的法则不能用. 由无穷小与无穷大的关系,可得 例3 求 解 例4 求 方 法 先约去公因子 再求极限. 分子,分母都是零. 解 分子和分母都是无理式，而且它们在x=5处的函数值均为0， 例5 求 例6 求 解 分子,分母的极限均为无穷大. 方 法 用 去除分子分母, 例7 求 解 分子,分母的极限均为无穷大. 归纳 例8 求 此结论对数列及无理分式也成立. 解 例9 求 解 法则. 不满足每一项极限都存在的条件,不能直接应用四则运算 例10 解 左右极限存在且相等, 左右极限分别为 是函数的分段点, 2.复合函数的极限运算法则 例11 求极限: 复合而成 , 则 设函数 是由函数 与函数 定理2 解 复合而成. 可看作 与 并且 因而 例12 解 原式= 这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法. 故 准则Ⅰ 如果 那么 存在, 且等于A. 有 1. 夹逼准则 那么数列 的极限存在, 且 准则Ⅰ′ 满足下列条件: 如果数列 三、极限存在准则和两个重要极限 夹逼准则图形解释 例13 解 由夹逼定理得 2. 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 准则Ⅰ 单调有界数列必有极限. 例14 设 a0, x10， 试判断数列{xn}的极限是否存在;若存在，求 解 . 因为 所以数列有下界； 又因为 即数列是单调递减的. 所以 存在. 设 则 所以 即 故 则 (负根舍去), (1) 3.两个重要极限 得△ACO. △OAB的高为 △AOB的面积 △AOC的面积, 即 由夹逼定理, 该极限的特点: 例15 求 例16 例17 解 解 解 (2) 该极限的特点 例18 解 例19 例21 例20 解 解 解