§2第2.4节函数极限的精确定义(593KB).pptVIP

第2.4节 函数极限的精确定义 一、函数极限的精确定义 二、单侧极限 三、自变量趋向无穷大时函数的极限 四、数列极限的精确定义 记作 或 回顾第一节给出的定义 （1）x与2接近到什么程度时，就可以使 0.01？ 例1 观察函数 ，在x→2 时的变化情况. 1 2 3 x 1 3 5 7 y 0 （2）x与2接近到什么程度时，就可以使 0.001？ （3）x与2接近到什么程度时，就可以使 0.000 1？ 因为 所以 （1）要想使 0.01, 即使 只需 即 解 我们引进两个符号 和 ，分别用它们刻画 f (x)与5的接近程度及x与2的接近程度. 故 当 时， 同理可得： 当 时， 当 时， 上面的问题可以这样总结： 对于任意给定的正数 ，只要 就有 . ………… 一、 函数极限精确定义 简记为 定义 几何解释 注 (2)一般地， 是依赖于 的正数，且 越小 越小； (3) 当 给定时， 的取值不是惟一的. (1) 例2 分析 证 函数在点 处没有定义. 二、单侧极限 例如, 左极限 右极限 定义 简记为 三、自变量趋向无穷大时函数的极限 几何解释 例3 证 证 所以, 已知数列{yn}，A为一常数，如果对于任意给定的正数 ， 总存在正整数 N，使得当 n N 时，恒有 则称数列 {yn} 的极限为A，即 . 四、 数列极限的精确定义 例4 例5 证明:若极限 存在，则函数在x0的某去心邻域内有界. 证 由定义，对于任意给定的正数 ，不妨取 =1，则总存在正数 使得当 时，总有 ,得证. 例6 证明:若 则 . 证 因为 由极限的定义知,对于任意给定的正数 ，总存在正数 和 ， 使得 当 时，有 当 时，有