§2第2.5节函数的连续性(1099KB).PPTVIP

一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、连续函数的运算性质 四、闭区间上连续函数的性质 第2.5节 函数的连续性 一、 函数的连续性 观察下列函数图形: 1 2 x y o 1 x y o 1 x y o 1 2 x y o 1. 连续的定义 定义 设函数 y=f(x)在 x0 的某邻域内有定义，如果 则称函数 f(x) 在 x0 处连续，并称 x0是 f (x)的连续点. 左、右连续 左连续. 右连续. 左连续 右连续 例1 已知 在 x=0处 连续，求a ,b . 解 由于f (x)在x=0处连续，于是 又因为 所以 定理1 2.函数的增量 自变量 称差 为自变量在 的增量; 函数随之从 称差 为函数的 增量. 如图: 3.连续的第二定义 若 定义 设函数f (x)在 内有定义, 则称函数 f(x)在x0处连续， 并称x0为函数 f(x)的连续点. 如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，则称函数在区间(a,b)内连续，并称(a,b)为 f(x)的连续区间. 如果在(a,b)内连续，并在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称 f(x)在区间[a,b]上连续. 4.连续函数与连续区间 例如, 多项式 内是连续的. 因此有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的. 有理分式函数 只要 都有 因此多项式在 . 例2 证 都是连续的. 类似可证, 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 二、函数的间断点 由连续性的定义可知, 连续的三个要素: (3) (2) 存在; 定义 出现如下三种情形之一: 无定义; 不存在; 间断点. (1) f (x)在 处有定义； 可去间断点 观察下列函数图形： (a) (b) (c) (d) 跳跃间断点 第一类间断点: 均存在, 称 为可去间断点. 称 为跳跃间断点. 如上图(a),(b),(c). 第二类间断点: 至少有一个不存在. 有至少有一个为无穷， 则称x0为无穷间断点. 无穷间断点 无穷间断点 间断点 第一类间断点: 跳跃间断点 可去间断点， 第二类间断点: 对可去间断点x0, 如果补充或改变x0的函数值, 使之等于A,则可使x0变为连续点. 则函数F(x)在点 x0 连续. 例3 讨论函数 解 则x=1为函数的 可去间断点. 在x=1处连续. 如改变x=1处的函数值， 如补充定义: 解 但 例4 讨论 在x=1处的连续性. 性质1 则 例如, 也在点x0连续; 在其定义域内连续. 在点x0连续; 在点x0连续. 三 、连续函数的运算性质 性质2 如果函数y=f (x)是区间Ix上的单调连续函数，那么它的反函 数 在对应区间 上也是单调连续函数. 设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成，如 果函数u=g(x)在x0处连续,且g(x0)=u0,而函数y=f(u)在u0处连续，那么复合函数 y=f[g(x)]在x0处也连续. 性质3 设函数 y=f[g(x)] 是由函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合而成,如果 ,而函数y=f(u)在u0处连续，那么复合函数y=f[g(x)] 在x0的极限存在，即 性质4 例5 解 由 所以 例6 解 这里 所以 例7 解 一般地，设 在点 的某个邻域内有定义，且 例8 解 则 注 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”是不可少的. 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 四、闭区间上连续函数的性质 在开区间(0,1)内连续,但 在(0,1)内没有最大值或最小值. 又如 在闭区间[0,2]上有 间断点 函数 函数f(x)在[0,2]上既没有 最大值,也没有最小值. 如函数 证 由定理1(最值定理), 推论(有界性定理) 有 取 则有 定理2（介值定理） 设函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续， 则对介于最大值 M 和最小值 m 之间的任何实数c（即 ），至少存在一点 ，使得 . 几何意义: 的零点. 推论(根的存在定理) 使得 几何意义 例9 证 由零点定理,