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微分方程 第十二章 — 积分问题 — 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 验证函数 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 P263 (习题12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思考与练习 * P321.例2 * P321.例2