§2第七章参数估计(2472KB).ppt

(2) μ1-μ2的置信度为0.90的置信区间为 [-2.3785，-1.6615] 7.3.4单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间. 于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足 设θ 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量 则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间. 称为单侧置信下限. 又若统计量 满足 则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间. 称为单侧置信上限. 设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限. 例7.19 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下： 1050，1100，1120，1250，1280 由于方差 未知，取t= 解： 的点估计取为样本均值 对给定的置信水平 ，确定分位数 使 即 于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为 将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时 的置信水平为 的单侧置信下限为 即 例7.20 设一批产品的一级品率为p，如今从中随机抽出100个样品，其中一级品为60个，要求p的0.95的置信区间。 解 设总体为X 则X服从0-1分布，即X~B(1,p)，其中0p1未知； 由迪莫弗-拉普拉斯定理可知(P148) 近似地服从正态分布N(0,1) 解得p的双侧置信区间上下限为 设(X1,X2,…,Xn)是取自这个总体的样本，其中“Xi=1”表示抽得的第i个样品是一级品。 其中 * * * * * 例7.10 设总体X的k阶矩存在，则不论X的分布如何，样本k阶原点矩 是总体k阶矩的无偏估计。 证明 设X的k阶矩 mk=E(Xk)，k≥1 (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，则 所以Ak是mk的无偏估计. 例7.11 设X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知，问μ,σ2的极大似然估计是否为μ,σ2的无偏估计？若不是，请修正使它成为无偏估计。 解 设(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，由例7.7知 是μ的无偏估计 不是σ2的无偏估计，而 为σ2的无偏估计。 2.有效性 对于参数?的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，我们希望它与真值之间的偏差越小越好。 定义 设 均为未知参数?的无偏估计量，若 则称 比 有效。 在?的所有无偏估计量中，若 估计量，则称 是具有最小方差的无偏 显然也是最有效的无偏估计量，简称有效估计量。 为一致最小方差无偏估计量,或称最优 无偏估计量. 例7.12 设总体X~U[1,?]，?1，未知， (X1,X2,…,Xn)是总体X的一个样本， (1)求?的矩估计和极大似然估计； (2)上述两个估计是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量； (3)问在(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解 X的密度函数 (1) ?的矩估计为 设(x1,x2,…,xn)为样本观察值，则似然函数 i=1,2,…n 令xn*=max(x1,x2,…,xn)，则xn*≤? 即?的极大似然估计为 (2) 是? 的无偏估计。 为求 先求Xn*的密度函数 显然，它不是? 的无偏估计，修正如下： 令 则 是? 的无偏估计。 (3) 当n1时，对任意? 1， 因此 比 更有效。 3.一致性（相合性） 在参数估计中，很容易想到，如果样本容量越大，样本所含的总体分布的信息越多。n越大，越能精确估计总体的未知参数。随着n的无限增大，一个好的估计量与被估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大，这就是所谓的相合性或一致性。 定义 设 为未知参数? 的估计量，若对任意给定的正数 ε0，都有 即 以概率收敛于参数? ，则称 为参数? 的一致估计或相合估计量。 例7.13 设 是总体X的样本均值，则作为总体期望E(X)的估计量时， 是E(X)的一致估计量。 证明 由独立同分布大数定律可知，当n→∞时 是E(X)的一致估计量。 例7.14 设 为? 的无偏估计量，若 则 为? 的一致估计量 证明 由切贝雪夫不等式可知 为? 的一致估计量。 7.3 区间估计 上一节中，我们讨论了参数的点