2 为无理数的证明.doc

√2 為無理數的證明 蔡聰明 數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。 —B. Russell— √2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派 的偉大發現, 是歸謬證法的典範。一方面, 它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學 的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次 危機。另一方面, 它也讓古希臘人發現到連 續統(continuum) 並且直接面對到「無 窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為 了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。 對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25 證道法門。換言之, 一個深刻的事物往往可以 從各種角度與觀點來論證。對於「√2 為無理 數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同 小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自 己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆 者孤漏寡聞)。在數量上, 雖然比不上畢氏定 理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28 種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)。這些證法牽涉到數學 各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增 廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統 合在一起。 一、奇偶論證法 √2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。不是有理數就叫 做無理數(irrational number)。因此, 我們 立下正、反兩個假說: H1 : √2為有理數; H2 : √2為無理數。 到底是哪一個成立呢? 如何證明? 欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所 以改由H1 切入。 換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先 投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。 第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2 可以寫成 √2 = a b (1) 其中a 與b 為兩個自然數並且互質。將上式 平方得 a2 = 2b2 (2) 12 √2 為無理數的證明13 所以a2 為偶數, 從而a 亦為偶數。令 a = 2m 其中m 為某一自然數, 於是 2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2 或者 b2 = 2m2 因此, b2 為偶數, 故b 亦為偶數。這就跟a 與b 互質的假設互相矛盾, 所以「√2 為有理 數」不成立, 從而得證「√2 為無理數」。 這是一般教科書上最常見的證法, 我們 稱之為反證法或歸謬法(reductio ad absur- dum)。 二、算術根本定理 質數2, 3, , 5, 7, 11, 13, . . . 相當於自然 的「原子」(不可分解之意), 算術根本定理是 說: 任何大於1的自然數都可以唯一分解成 質數的乘積。這跟「萬物都是由原子組成的」 具有平行的類推。 欲證√2 為無理數, 我們仍然採用歸謬 法。假設√2 為有理數, 即√2 = a b , 其中a 與b 為自然數, 則a2 = 2b2。 首先我們注意到: b 1 且a 1。因為 若b = 1, 則a2 = 2, 但是2不是平方數, 故 b = 1 不成立, 於是b 1。又因為√2 1, 故a 1。 其次, 由算術根本定理知, a = p1 1 p2 2 · · · pn n b = q1 1 q2 2 · · · qm m 其中p1, . . . , pn 與q1, . . . , qm 皆為質數且 α1, . . . , αn, β1, . . . , βm 皆為自然數。再由 a2 = 2b2 得到 p21 1 p22 2 · · · p2n n = 2q21 1 q22 2 · · · q2m m (3) 第二種證法: 觀察(3) 式中的2, 左項 的2為偶次方, 但右項的2為奇次方, 這是一 個矛盾。 第三種證法: 在(3) 式中, 左項有偶數 個質數(計較重複度), 右項有奇數個質數, 這 也是一個矛盾。 無論如何, 我們由歸謬法證明了√2 為 無理數。 三、無窮下降法 這可以有三種變化的證法。 第四種證法: 假設(1) 式成立。因為 1 √2 = a b 2 所以a b, 故存在自然數q 使得 a = b + q 由a2 = 2b2 得 2b2 = a2 = (b + q)2 = b2 + 2bq + q2 消去b2 得 b2 = 2bq + q2 所以 b q 14 數學傳播23卷1期民88年3月 於是存在自然數p 使得 b = q + p 從而 a = b + q = (q + p) + q = 2q + p 又由a2 = 2b2 得 (2q + p)2 = 2(q + p)2 展開化簡得 p2 = 2q2 (4) 至此, 我們由兩個自然數a 與b 出發, 求得另外兩個較小的自然數p 與q, 滿足 a b p q。 在形式上, (4)