高等数学习题集 第二版 第三章.doc

第三章 中值定理与导数的应用 学习测试题答案 填空题 (1), . (2) 函数在处连续， 。 (3)极值点处，或不存在或，由于为可导函数，所以只能有一种情况，即。 (4)在上可导，为的极值点，则。 。 (5) 为五阶多项式，为四阶多项式，至多有四个不同的实数根。由Rolle定理知，在，，，之间都至少有一个零点，即至少有四个不同的实根，所以有四个不同的实根。 (6)边际成本，， ，所以成本函数在处有最小值。 (7)由题，， ， 所以在处有最小值。 (8)为多项式函数，在有无穷阶导数，所以拐点处；拐点在曲线上，则；由题在拐点处的斜率为，则，所以 (9)由题，则无实根，所以由Rolle定理至多有一个实根，由题则由连续函数零值定理在之间至少有一个实根。所以只有一个实根。 (10)需求弹性为，所以，注意，所以得。 选择题 (1) A: 在点不连续，因此不满足Rolle定理条件。 B：在点不可导，因此不满足Rolle定理条件。 C：在上连续，在内可导，且，因此满足Rolle定理条件。 D：在上连续，在内可导，但，因此不满足Rolle定理条件。 (2) 由题，由P100推论3.2得，是确定常数。 (3) 注意使用洛必达法则要求必须满足三个条件。 A：，由于不存在，所以不满足条件三，不能使用洛必达法则。 B：，由于不存在，所以不满足条件三，不能使用洛必达法则。 C：，不满足条件一，不能使用洛必达法则。 D：满足三个条件，可以使用洛必达法则。 (4)在点取得最小值，则或者可能在不可导，或者在可导且。 A项，B项既不是充分条件也不是必要条件，C项为充分条件但非必要条件。 (5)由题，所以在内严格单调递增的。 (6) 取为 A：，，但为极小值，即A不成立。 B：，，但为极大值，即B成立。 C：，，但不是的拐点，即C不成立。 D：，则不是的极值点，由A，B知可能为极值，也可能不是极值。 (7)由题，则可得在的某去心领域内，则在的某左领域内单调递减，在的某右领域内单调递减，所以一定不是的极值。 (8)由题若，则，所以当时， 若，则，所以当时。 则在内，单调递减，下凹。 (9)，所以为其水平渐近线，，所以为其垂直渐近线。 (10)由Lagrange定理的知，使得，由题，则在上为连续可导单调递增函数， ，即。 (11)由题，属于和之间，， 。 (12)A项，B项，D项需要在上连续，反例为，则在上满足题目条件，但不存在，使得或 或。 C项由在内连续的定义，明显可得。 (13) 不一定存在：如，，， 且，但不存在。 由洛比达法则，知存在，则。 (14)由题，所以为单调递减函数，所以，所以，。 (15)由题在上连续，，为的零点。 在点不可导，但在单调减，在单调增。 为的极小值点。在下凹，在上凹。 为的拐点。 (16)由题对一切满足， ，所以在点取最小值。 (17)由题为偶函数，，为奇函数。，又，所以当，在点取最小值，当，在点取最大值。 (18)由题，且 ， 所以在点处取得最大值。 (19)，且 ， 则有两条渐近线。 (20)极值点可能在闭区间端点处取得，如，函数图像为 所以极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。（由最值求法知，最值可以在可能的极值点（导数为零的点，导数不存在的点）和端点处之中取得）计算题 (1)① ② ③ ④ ⑤ (2),因为不存在，则可能的极值点为或，又因为当时，，当时，，当时，，根据极值第一充分条件的在处取得极大值，在处取得极小值。在上单调递增，在上单调递减。 (3)，，而当时，，当时，，当时，，当时，。所以在 下凹，在上凹，为其拐点。 (4)对等式两边同时求导可得，所以当时，。 带入等式得，或（舍去） ， ，所以在点处取得极小值。 (5)由题，。所以当时，，当时，，当时，，当时，，可得在处取得极大值，极值为。当时，，当时，，所以拐点为。 ，所以为函数的垂直渐近线。 ，。 为函数的斜渐近线。 (6)，所以， 由此可得，当时，，当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增。在处取得极小值，在处取得极大值 (7)由题， 所以且不存在。当时，，当时，，当时，，所以在 上凹，在下凹， 和为其拐点。 (8) 由题 。且 。 (9) 由题在上有定义，在处取得最小值，所以，由题。 (10)①当时，，为自然数时， 在有定义。，而 ，所以在点处取得极大值。比较，得最大值。 ②。 证明题 (1)令，由题在上连续，在内可导，且，由Rolle定理知，至少存在一点，使得，即。 (2)由题在上连续