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有限元法基础讲稿-第8讲
青岛大学讲稿
讲 授 内 容 备 注 第8讲(第11周)
2. 应变矩阵
确定了单元位移后,可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。εx、εy、γxy(各符号的意义见附录1),用矩阵表示为
将(2.1.4)式代入上式中,得到
或
(2-1-7)
式中B称为应变矩阵(2-1-8)
而其子阵为
(2-1-9)
3节点三角形是常量阵常应变单元。在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位,单元划分应适当密集,否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。ε0又称为初应变
ε0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起,对工程结构一般只考虑温度应变,无论线性和非线性温度,计算时可近似地采用平均温度
式中,Ti、Tj、Tm分别为节点i、j、m的温度,Tref为参考温度。
对于平面应力问题,温度引起的初始应变为
其中,α为线膨胀系数。
由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形,所以γxy0=0。以后所述问题,除非特别说明,都指各向同性介质。
对平面应力问题,温度引起的初始应变为
当不考虑温度的影响时,当前温度即为参考温度。以后所述问题,除非特别说明,不考虑温度影响。
单元应力
根据物理方程,对平面应力问题,取应变分量
由上式解出
(2-1-10)
式中,D为弹性矩阵,
(2-1-11)
取决于弹性常数E和μ。
将式(2-1-7)代入式(2-1-10)得
(2-1-12)
(2-1-13)
式中,S为应力矩阵,反映了单元应力与单元节点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为常量,所以单元边界上有应力阶越,随单元划分变密,突变将减小。
对平面应变问题,有四个应力分量:σx、σy、τxy和σz。取应变分量
由应变分量解出σx、σy、τxy,弹性矩阵为
(2-1-14)
根据物理方程可以求解各应力分量。
4. 单元刚度矩阵
单元节点力为Fe,节点虚位移为(δ*)e,节点虚应变为(ε*)e,平面单元的厚度为t。应用虚位移原理
将及代入上式整理得到
可见单元刚度矩阵为
(2-1-15)
对于三节点三角形单元,面积为A,所取为线性位移模式,单元刚度矩阵为
进一步表示为
对平面应力问题有
(2-1-16)
单元刚度矩阵表达单元抵抗变形的能力,其元素值为单位位移所引起的节点力,与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。例如子块Kij
其中:上标1表示x方向自由度,2表示y方向自由度,后一上标代表单位位移的方向,前一上标代表单位位移引起的节点力方向。如表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的水平节点力分量,表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的竖直节点力分量,其余类推。
单元刚度矩阵为对称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移,给定的节点力不能惟一地确定节点位移,可知单元刚度矩阵不可求逆,具有奇异性。
5. 等效节点载荷
有限单元法分析只采用节点载荷,作用于单元上的非节点载荷都必须移置为等效节点载荷。可依照静力等效原则,即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等,求等效节点载荷。
(1)集中力的移置。设单元ijm内坐标为(x,y)的任意一点M受有集中载荷f=[fx fy]T,移置为等效节点载荷P e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T。假想单元发生了虚位移,其中,M点虚位移为u*=NT(δ*)e,其中(δ*)e为单元节点虚位移。按照静力等效原则有
则
(2-1-17)
(2)体力的移置。设单元承受有分布体力,单位体积的体力记为q=[qx qy]T,其等效节点荷载为
(2-1-18)
(3)面力的移置。设在单元的某一个边界上作用有分布的面力,单位面积上的面力为p=[px py]T,在此边界上取微面积tds,对整个边界面积分,得到
(2-1-19)
例2-1 求单元在以下受力情况下的等效节点荷载:y方向的重力为G、图22所示ij边受x方向均布力p、图23所示jm边受x方向线性分布力。
图2-2 均布力 图2-3 线性分布力
求解说明
利用上述公式求等效节点载荷,当原载荷是分布体力或面力时,进行积分运算是比较繁琐的。但在线性位移模式下,可以按照静力学中力的分解原理直接求出等效节点载荷,上述三种情况等效节点荷载分别为
6. 整体分析
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