2009~2011 反比例函数综合题答案与评分标准.doc

2009~2011 反比例函数综合题答案与评分标准 一、解答题（共10小题） 1、（2011?义乌市）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为12． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例函数y=kx的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围； （3）过原点O的直线l与反比例函数y=kx的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值． 考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=kx，可求出k的值； （2）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，1a），根据勾股定理得到OP=a2+（1a）2=（a﹣1a）2+2，从而得到OP最小值为2，于是可得到线段PQ长度的最小值． 解答：解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴S△AOB=12?OB?AB=12×2×m=12， ∴m=12； ∴点A的坐标为（2，12）， 把A（2，12）代入y=kx，得12=k2 ∴k=1； （2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=13， 又∵反比例函数y=1x，在x＞0时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为13≤y≤1； （3）由图象可得，线段PQ长度的最小值为22． 点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 2、（2011?莆田）如图，将一矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边BC交于点F． （1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1+S2=2，求k的值； （2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少？ 考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2=12k，利用S1+S2=2即可求出k； （2）设E（k2，2），F（4，k4），利用S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=﹣116（k﹣4）2+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2． 解答：解：（1）∵点E、F在函数y=kx（x＞0）的图象上， ∴设E（x1，kx1），F（x2???kx2），x1＞0，x2＞0， ∴S1=12?x1?kx1=k2，S2=12?x2?kx2=k2， ∵S1+S2=2， ∴k2+k2=2， ∴k=2； （2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4， 设E（k2，2），F（4，k4）， ∴BE=4﹣k2，BF=2﹣k4， ∴S△BEF=12（4﹣k2）（2﹣k4）=116k2﹣k+4， ∵S△OCF=12×4×k4=k2，S矩形OABC=2×4×=8， ∴S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=8﹣（116k2﹣k+4）﹣k2=﹣116k2+k2+4， =﹣116（k﹣4）2+5， ∴当k=4时，S四边形OAEF=5， ∴AE=2． 当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5． 点评：本题考查了反比例函数y=kx（x＞0）的k几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式．也考查了二次的顶点式及其最值问题． 3、（2011?南通）如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=mx（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p﹣1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=mx（x＞0）和y=﹣mx（x＜0）于点M、N． （1）求m的值和直线l的解析式； （2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由． 考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质。 专题：计算题。 分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式； （2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可； （3）先假设存在，利用S△AMN=4S△AMP．求得p的值，看是否符合要求． 解答：解：（1）∵B（2，1）在双曲线y=mx（x＞0）上， ∴m=2， 设直线l的解析式为y=kx+b， 则k+b=02k+b=1， 解得k=1b=﹣1， ∴