历年株洲压轴题.doc

2011株洲压轴题（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题： （1）若测得（如图1），求的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 答案24.解：（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点， ，，，(，) ……… 2分 将(，)代入抛物线得，. ……… 3分 （2）解法一：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)， … 4分 . 又 ，易知，又， △∽△， ……… 5分 设点（，）（），则，， ，即点的横坐标为. ……… 6分 解法二：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)， ……… 4分 ，易知， ， ……… 5分 设点（-，）（），则，， 解得：，即点的横坐标为. ……… 6分 （3）解法一：设（，）（），（，）（）， 设直线的解析式为：， 则，……… 7分 得，，[来源:学。科。网Z。X。X。 … 8分 又易知△∽△，，，……… 9分 .由此可知不论为何值，直线恒过点（，）………10分 （说明：写出定点的坐标就给2分） 2010株洲压轴题22．（本题满分8分）如图，直角中，，，，点为边上一动点，∥，交于点，连结． （1）求、的长； （2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大，并求出最大值． 23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测： ① 量得； ② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．请完成下列问题： （1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式； （3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：． （1）　……… 2分 （2）设抛物线的解析式为：，当时，，即；当时，，即，依题意得：，解得：． ∴抛物线的解析式为：． ……… 6分 （3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： ① ② 又，得，分别代入①、②得：， ∴ 得：[来源:学*科*网] 又 ∴ ………10分 方法二：过点作，垂足为，设，则，得： ∵∴ ………10 22．（本题满分10分）如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值． 图1 图2 2009株洲压轴题．（本题满分12分）如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、． （1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值． （1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）. ………………… 3分 （2）∵ ∴，则点的坐标是（）. 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 （3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，. ∵ ∴∽ ∴ 即，得 ∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵ ∴ 即为定值8. ……………………12分 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S； （2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△O