1-1数学物理方程及其定解条件演示教学.ppt

数学物理方法 信息与通信工程学院 李莉 lili66@bupt.edu.cn * 教学目的 通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟悉和掌握Bessel函数和Legendre函数等两类特殊函数的性质和应用。 通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为电磁场、微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能力打下基础。 * 数学物理方法：数学物理方程+特殊函数 数学物理方程 从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程和积分方程。 特殊函数 与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数 * 主要内容 第4章 数学物理方程及其定解条件 §4.1 基本方程的建立 §4.2 定解条件 §4.3 定解问题的提法 §4.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简 第5章 分离变量法 §5.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 §5.2 二维Laplace方程的定解问题 §5.3 非齐次方程的解法 §5.4 非齐次边界条件的处理 * 第6章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 §6.1 二阶常微分方程的级数解法 §6.2 Sturm-Liouville（斯特姆--刘维尔）本征值问题 第7章 Bessel函数的性质及其应用 §7.1 Bessel方程的引入 §7.2 Bessel函数的性质 §7.3 Bessel函数的应用 *§7.4 修正Bessel函数 *§7.5 可化为Bessel方程的方程 * 第8章 Legendre 多项式及其应用 §8.1 Legendre 方程及Legendre 多项式的引入 §8.2 Legendre 多项式的性质 §8.3 Legendre多项式的应用 *§8.4 关联Legendre 多项式及其应用 *§8.5 其它特殊函数方程简介 第9章 行波法与积分变换法 §9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗贝尔)公式 §9.2 三维波动方程的Poisson公式 §9.3 Fourier积分变换法求定解问题 §9.4 Laplace变换法解定解问题 * 第10章 Green函数法 §10.1 引言 §10.2 函数的定义与性质 §10.3 Poisson方程的边值问题 §10.4 Green函数的一般求法 §10.5 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数 * 教学基本要求 掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的物理背景及其定解问题的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量法，行波法、积分变换法等； 熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其应用。 * 物理过程 数学模型 数学解 物理解 学习方法 物理现象 §4-1 基本方程的建立 基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的数学表达 任务：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某类物理现象所满足的数学物理方程 常用的方法： 微元法：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到所研究问题满足的数学物理方程 规律法：将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解的）数学物理方程表示出来 统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理方程，常用于经济、社会科学等领域。 * §4.1.1 波动方程 均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。 下面研究弦作微小横振动的规律。 所谓“横向”是指全部运动出现在一个平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动。 所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项可以忽略不计。 弦是均匀的，设其线密度为 ； * 弧段两端所受张力为 和 设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M，其位移MN记为u。 显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即 采用微元法来建立位移u满足的方程： 把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。 在弦上任取一弧段 ，其长度为ds， 由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。 是弦的线密度 * 现在考虑弧段