10分离变量法演示教学.ppt

在直角坐标系中 2. 分界面上的衔接条件 由 （仅适用于无电流区域） 1. 微分方程 0 3.5.2 磁位 的边值问题 ( Boundary Value Problem of ) 包围点 P 作高斯面 ( )。 1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition) 1. D 的衔接条件 则有 根据 图1.3.1 介质分界面 D 的法向分量不连续 当 时， D 的法向分量连续。 2. E 的衔接条件 围绕点 P 作一矩形回路( )。 E 的切向分量连续。 根据 则有 3. 折射定理 当交界面上 时， 折射定律 图1.3.2 介质分界面 4、 的衔接条件 设 P1 与 P2 位于分界面两侧， 因此 电位连续 得 电位的法向导数不连续 由 ，其中 图1.3.3 电位的衔接条件 说明 （1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； 图1.3.4 导体与电介质分界面 例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 解: 分界面衔接条件 导体中 E＝0 ，分解面介质侧 （2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。 解：忽略边缘效应 图(a) 图(b) 例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。 图1.3.5 平行板电容器 1.4 边值问题、惟一性定理 1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程 (Poisson’s Equation and Laplace’s Equation) 泊松方程 —拉普拉斯算子 Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem 拉普拉斯方程 当r =0时 场域边界条件 1）第一类边界条件（狄里赫利问题，Dirichlet) 2）第二类边界条件（诺依曼问题 Neumann) 3）第三类边界条件(劳平问题) 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合 已知边界上导体的电位 已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线) 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 计算法 实验法 解析法 数值法 实测法 模拟法 边 值 问 题 例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题 （阴影区域） 图1.4.1 缆心为正方形的 同轴电缆 通解 例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。 解：采用球坐标系,分区域建立方程 边界条件 参考电位 图1.4.2 体电荷分布的球体 电场强度（球坐标梯度公式）： 得到 图1.4.3 随r变化曲线 答案:（C ） 1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem) 例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？ 惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。 图1.4.4 平板电容器外加电源U0 2.9 分离变量法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 Separation Variable Method 解题的一般步骤 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 例1.5.1 试求长直接地金属槽内电位的分布。 解: 边值问题 *应用实例 1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场） （D 域内） 图1.5.1 接地金属槽的截面 y 分离变量 设 -分离常数, 代入微分方程， 通解 代入边界条件，确定积分常数 通解 沿 x方向作正弦变化， 图1.5.2 双曲函数 比较系数 当 时， 当 时， 若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布 通解 等式两端同乘以 ，然后从 积分 左式 当 时， 右式 ＝ 代入式（1） 代入通解 n＝奇数 图1.5.3 接地金属槽内 的等位线分布 解：取圆柱坐标系，边值问题 根据对称性 例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置 一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求 圆柱内外 和 E 的分布。 图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒 当 时， 当 时