11-5重积分习题课演示教学.ppt

《高等数学》第十一章 习题课 一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分区域多为坐标面(轴)围成； 被积函数用此坐标表示较简洁. 2. 选择易计算的积分次序 积分区域分块要少，累次积分易算为好. 图示法 列不等式法 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 二重积分的对称性： 三重积分的对称性： 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 例 把积分 化为三次积分, 其中?由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域. 例 隐藏 计算积分 其中?是两个球 (R 0)的公共部分. 提示:由于被积函数缺 x , y , 原式 = 利用“先二后一”计算方便 . 例 计算三重积分 其中?是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域. 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 例 二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. 例 其中?是 所围成的闭区域. 提示:被积函数在对称域 ?上关于 z 为奇函数, 利用 对称性可知原式为 0. 由球面 例 例 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成. (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性,得 例 计算二重积分 其中D 是由曲 所围成的平面域. 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 例 计算二重积分 在第一象限部分. 解: 其中D 为圆域 两部分 作辅助线 将D分成 例 如图所示 交换下列二次积分的次序： 解: 例 解: 在球坐标系下 ，利用洛必达法则与导数定义,得 其中 三、重积分的应用 1. 几何方面 面积(平面域或曲面域),体积,形心 质量,转动惯量,质心,引力 证明某些结论等 2. 物理方面 3. 其它方面 例 证明 证:左 =右 《高等数学》第十一章 习题课