12-3高斯公式与斯托克斯公式方案研究.ppt

第三节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式 第十二章 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面 所围成, 则有 高斯  的方向取外侧, 证明: 设 称为XY -型区域 , 则 定理1 所以 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 例1. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , ,  为法向量的方向角. 所围区域为 , 则 例2. 设 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 思考与练习 所围立体, 判断下列演算是否正确? (1) (2)  为 二、 斯托克斯公式 定理2. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1.  与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 则有 简介 则 (利用格林公式) 定理1 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线把  分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 定理1 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 解: 记三角形域为 , 取上侧, 则 个边界, 方向如图所示. 利用对称性 内容小结 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) 2. 斯托克斯公式 高斯(1777 – 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 斯托克斯(1819-1903) 英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法, 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .