15 ：第八章 数学物理方程综述培训讲解.ppt

第十八章 数学物理方程综述;1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件 确定其定解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形, 行波法又称达朗贝尔(d’Alembert)解法. 它不仅可以求解无 界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微 分方程．; 这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理 论上说，分离变量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本 征值问题．从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解 条件必须是齐次的(若为非齐次，则需先齐次化)．从而使 得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的 限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制．并且 还涉及到正交曲面坐标系的选取．; 在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程 的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外， 也可能会出现其他的特殊函数．;4 格林函数法：这种方法具有极大的理论意义．它给出了 定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系， 因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解 是如何相应地发生变化的. Green函数法，已经成为理论物 理研究中的常用方法之一．;的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上 看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积 分变换．反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际 可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成 的结果(如查积分变换表，专用工具书等)可供引用，采用 积分变换的确可以带来极大的便利．但若涉及的积分比较 复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演 问题就成为了积分变换的难点．; 积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如， 当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分 变换法．;6. 保角变换法．这种方法的理论基础是解析函数所代表的变换具有保角性．这种解法主要用于二维Laplace 方程或Poisson方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的??界形状．例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace方程的解．;不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之一．在实用上，变分法又提供了一种近似计算的好办法．有效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算大为简化．在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用的一种近似计算方法． ;8.计算机仿真解法：利用数学工具软件（Matlab,Mathematic, Mathcad）和常用计算机语言（Visual C++）等实现对数学物理 方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的 求解及其解的动态演示．;18.2 非线性偏微分方程; 自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各 个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富．与线性方程的 定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后 者要复杂得多．限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非 线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代 通信技术等领域具有广泛的应用前景．;在无限空间，线性或非线性偏微分方程;非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， ;度和不变的波形向前推进（如图18.1所示）,很久以后才遇障碍而 消失. Russel后来发表了观察报告,首先提出“孤立波”的名词概念 . 1895年,荷兰数学家（D.J. Korteweg）和他的学生(G. de Vries)在研 究浅水波时,导出了如下形式的方程 ;线性偏微分方程. ;（; (18.2.5);分离的形式;可化简为;(1)波峰高与波速成正比;;(Zabusky和Kruskal)用数值模拟证实了：两个相对运动的孤立 波在碰撞之后仍为两个稳定的，形状与碰撞前相同的孤立波，仅 仅相位发生了变化，也就是说两个孤立波的碰撞类似于粒子之 间的碰撞．这种孤立波具有类似粒子的性能，因而这两位科学 家将孤立波命名为“孤立子”（Solition）．; 非线性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，还有 很多，如; 此外，还有Klein-Gordon 方程，Toda非线性晶格 方程等，这些非线性偏微分方程在等离子体物理、非线性光 学、量子场论和通信技术等领域都有着重要的地位和作用．;式（18.2.11）称为Burgers 方程．其中 ;对;由于;其中; ; （18.2.20）;容易求得二个特征值为;可见;显然，当