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23《数学物理方程》二十三讲特殊函数常微分方程知识讲稿.ppt
第九章.二阶常微分方程级数解法 本征值问题
1.球坐标和柱坐标系下数理方程的分离变量
2.连带勒让德方程和贝塞尔方程的级数解法
一、球坐标和柱坐标系下的数理方程的分离变量
①球坐标系下的拉氏方程表示为:
如何得到该方程?
上述方程如何求解?
将试探解带入球坐标系下的拉普拉斯方程得:
上式变为:
这样,原来的球坐标系下的拉普拉斯方程就分解成了两个方程(一个常微分方程,一个偏微分方程).
偏微分方程为:
继续采用分离变量的方法求解球函数方程
这样就把一个球函数方程分解成了两个常微分方程:
第一个方程:
第二个方程:
将上式中的自变量变为t,则
所以上式变为:
该方程称为连带勒让德方程,当m取0时方程称为勒让德方程,勒让德方程的形式为:
②柱坐标系下的拉氏方程表示为:
柱坐标与直角坐标之间的换算关系如下:
对于上述方程的求解依然用分离变量的方法.
则得:
下面分三种情况讨论上述两个常微分方程的解
Class is Over!
Thank you!
作业:P223
第一题,第二题
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