25-一阶微分方程演示教学.ppt

变量可分离方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 一阶齐线性方程 一阶非齐线性方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 五、伯努利方程 形如 的方程称为伯努利方程。 代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程 于是，原方程的通解为 例 解 故 从而，原方程的通解为 变量可分离方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 一阶齐线性方程 一阶非齐线性方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 变量可分离方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 一阶齐线性方程 一阶非齐线性方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 例 解 变量代换 原方程即 于是，原方程化为 运用分离变量法，解得 故原方程的通解为 不是讲过的类型 思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 备用题 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 利用公式可求出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三十讲 一元微积分的应用(六) 主讲:岑利群 —— 微积分在物理中的应用 第二节 一阶微分方程 变量可分离方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 一阶线性齐方程 一阶线性非齐方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 变量可分离方程 齐次方程 一阶线性齐方程 一阶线性非齐方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 变量可分离方程 可化为齐次方程的方程 一、变量可分离方程 如果一阶微分方程可以化为下列形式： 则称原方程为变量可分离的方程。 运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解： 其中C 为积分后出现的任意常数。 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。 例 解 原方程即 对上式两边积分，得原方程的通解 例 解 对上式两边积分，得原方程的通解 隐函数形式 经初等运算可得到原方程的通解为 你认为做完了没有？ 原方程的解为 例 解 原方程即 两边积分，得 故通解为 曲线族的包络。 工程技术中解决某些问题时，需要用到方程的奇解。 二、齐次方程 齐次方程 变量分离方程 变量代换 代入原方程，得 例 解 于是，原方程化为 两边积分，得 即 三、可化为齐次方程的方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 变量代换 变量分离方程 变量代换 三、可化为齐次方程的方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 变量代换 变量分离方程 变量代换 例 解 于是，原方程变为 联立方程组 解之，得 可化为齐次方程的 可化为齐次方程的 两边积分，得 即 你由这个例题的解题过程想到什么了？ 可化为齐次方程的方程 变量可分离方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 一阶齐线性方程 一阶非齐线性方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 四、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程。 方程称为一阶齐线性方程。 方程称为一阶非齐线性方程。 习惯上，称 为方程 所对应的齐方程。 一阶齐线性方程的解 运用分离变量法，得 两边积分，得 故 表示一个 原函数 的解存在，且唯一，其通解为 例 解 故该一阶齐线性方程的通解为 套公式！ 例 解 先求此一阶齐线性方程的通解： 故该初值问题的解为 变量可分离方程 齐次方程 可化为齐次方程的方程 一阶齐线性方程 一阶非齐线性方程 伯努利方程 变量代换 变量代换 变量分离 常数变易 变量代换 一阶非齐线性方程的解 比较两个方程： 请问，你有什么想法？ 请问，你有什么想法？ 我想：它们的解的形式应该差不多