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Solution. 由区域的对称性和 函数的奇偶性可得 o x y D Solution. Method1. 在xoy面上的投影区域为 Method2. Method1. Method2. Method3. “先二后一”法 Solution. Method1. Method2. “先二后一”法 Method3. “柱面坐标”法 在xoy面上的投影区域为 三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系, 确定单积 分的积分上下限. 通常?是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标, ?是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标. 解. 利用球面坐标得 Solution. Solution. 由对称性可知, Solution. Solution. Solution. 立体在xoy面上的投影区域为: ex20. 穿过半径为4厘米的铜球的中心，钻一个半径为 1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积.(铜以球直径 为中心对称轴). Solution. 球面方程为 所考察立体?在xoy面上的投影区域为: Chapter 2 重积分小结 二重积分的性质: 性质1. 性质2. 性质3. 对区域具有可加性 性质4. 若 为D的面积， 第一部分: 内容小结 一. 二重积分 定义: 几何意义： 性质5. 特殊地 性质6. （二重积分估值不等式） 性质7. （二重积分中值定理） 二重积分的计算: 计算二重积分的步骤： (1) 画区域图; (2) 列出x型或y型区域的不等式表示; (3) 计算二次积分 (若一种次序积不出来时, 换另一种次序). 1. 在直角坐标下有: 极坐标下的二重积分可用二次积分来计算 o x o x 要点与步骤: 用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐 标计算; (3) 画区域图, 列出?型区域, 写成极坐标下的二次积分. 二. 三重积分 定义: 三重积分的计算: 1. 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 需把一般区域先投影到xoy面得D, 再作平行于z轴的 直线求得 投影要求: 投到xoy面, 平行于z轴的直线与?边界不多于两个交点. 投到yoz面, 平行于x轴的直线与?边界不多于两个交点. 投到zox面, 平行于y轴的直线与?边界不多于两个交点. 2. “先二后一”法 3. 柱面坐标系中将三重积分化为三次积分 4. 球面坐标系中将三重积分化为三次积分 三. 重积分的应用 (1) 平面薄片D的质量 (2) 物体?的质量 若分布均匀,则 若分布均匀,则 6. 万有引力 Solution. (1) 画区域图 (2) 列出区域的不等式表示 (3) 列出二次积分并计算 o x y 第二部分: 题型小结 D 见教材 三、解答题 Solution. 积不出来，须换另一种积分次序 o x y 1 1 Solution. o x y Solution. Solution. o x y 1 1 ex6.交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分 Solution.