5-1数学物理方程演示教学.ppt

第五章 贝塞尔函数;§5.1 贝塞尔方程的引出;令 ，代入方程得 ;(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) ;再次分离变量,令;n 阶贝塞尔方程. ;做代换 ,并记;用 x 表示自变量, y=y(x) 表示未知函数,则 n 阶贝塞尔方程为:;代入方程确定系数 和 c ： ;;比较系数得;暂取;暂取;, 由;, 由;取 类似推导可得方程的一个特解：;当 n 为整数时 与 是线性相关的。;当 n 为整数时 与 是线性相关的。;在级数解法中，总是自然地约定级数解的首项系数不为0，但是现在在导出 时，我们选取了;所以方程的通解可以表示为：;如果选取; §5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解;§5.4 贝塞尔函数的递推公式;微分 的第 (k + 2) 项;是 的 项系数的负值, 所以;即;;上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得;两式相加减分别消去 和 , 可以得到;对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式. ;这里微分算子 表示算子 连续 作用 m 次的缩写. ;例 求不定积分;例 利用递推公式证明;即;;;;