8-习题课方案研究.ppt

1 一、教学要求 3. 会用重积分求一些几何量与物理量. 第8章 重积分 2 二、重积分计算题型 1.利用对称性简化计算. 2.去掉被积函数中的绝对值符号. 3.交换积分顺序的方法. 4.积分区域需要划分的. 5.重积分的应用. 3 1、二重积分的定义 主要内容 4 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 5 性质１ 性质２ ３、二重积分的性质 6 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 性质５ 若在D上， 特殊地 7 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） 8 性质8 性质9 10 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. ［Y－型］ 11 （２）极坐标系下　 12 13 5、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 14 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心 15 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 (4) 转动惯量 16 (5) 引力 17 6、三重积分的定义 18 7、三重积分的几何意义 8、三重积分的性质 类似于二重积分的性质． 19 补充：三重积分的奇偶对称性 20 1.(两字母对换) 如果将x,y换为y,x积分域不变,则 2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变,则 补充：三重积分的轮换对称性 21 9、三重积分的计算 (１) 直角坐标 “先一后二（先投影）” “先二后一（先截面）” 22 (２) 柱面坐标 23 (３) 球面坐标 24 10、三重积分的应用 (１) 重心 25 (２) 转动惯量 26 例 解 X-型域 三、典型例题 27 D2 D1 解 例 28 解 先去掉绝对值符号,如图 练习 D1 D2 29 解 如图, 例 30 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 (1) 围成 . 例 解 对称性 31 (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 32 练习 提示:先用对称性 提示:按分段函数 对积分区域做划分 33 计算二重积分 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 例 解 34 例 解 35 例 证 交换积分顺序即可证得. 提示: 36 解 法一 例 37 38 法二 设 则 则 39 1. 找出上顶、下底及投影区域 2. 画出投影区域图 不画立体图做三重积分 Dxy: z = 0 。 。 Dxy 例 ？ 40 Dxy: z =0 1 1 Dxy 双曲抛物面 练习 41 例 解 由对称性 42 解 例 43 法1 先二后一 44 法2 45 解 例 46 47 解 例 球 48 49 例 提示 被积函数为 z2, 采用先二(x,y)后一(z) 计算简便 . 原式 = 解 50 解 先算前面部分的面积A1 由 求交线 外面部分 51 52 *例 解 由于被积函数含有抽象函数, 因此要采用 法一 故无法直接积出. 一些技巧. 53 54 法二 （画第二象限部分） （如图） 则有 作曲线 作业 55 证 所以, *例 56 *例、设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化 过程中，其侧面满足方程 （设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积 减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高 度为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？ [分析]雪堆底面所占区域为 写出雪堆体积及侧面积和h(t)的关系，建立微分方程 求出h(t)即可。 57 58 59 *练习 设函数f(x)连续且恒大于零， 60 测 验 题 61 62 63 64 65 66 67 68 测验题答案 69