9-5重积分应用知识讲稿.ppt

重积分的几何应用 1. 平面图形的面积 2. 空间立体的体积 3. 曲面的面积 4. 习题解析 * 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 对三重积分而言 * 1. 平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积 2. 空间立体的体积 设曲面的方程为 则曲顶柱体的体积为 由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为 * 计算由曲面 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 由对称性得 例1 解二 用三重积分 * 所围成的立体的体积 解一 （用极坐标） 解二 是柱形区域，用柱坐标 例2 * 例3 求球体 被圆柱面 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解 显然，所求立体应在第一、 第四、第五、第八卦限。 而且，四个卦限部分的体积 是对称相等的。 因此，若设第一卦限部分的体 积为 V1 ，则所求立体的体积为 * V1 可以看成是一个曲顶柱体， 它的曲顶为 它的底D 由半圆周 及 x 轴围成。 用极坐标系表示 于是， * 所求立体体积 * ①．设曲面的方程为： 如图， 3. 曲面的面积 * 曲面S的面积元素 ②．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ③．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得： * ④ 若光滑曲面方程为隐式 则 且 * 解 曲面的方程为 * 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 （由对称性） 例6 * 0 x y x2+y2 ? 计算圆柱面 被圆柱面 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=16A1 A1 的方程 例7 * 例8. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . * 1. 平面图形的面积 2. 空间立体的体积 3. 曲面的面积 曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为D 小结：关于重积分几何应用 * 例1. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 连续, 所以 典型例题 * 例2. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . * (2) 积分域如图: 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 * 例3. 计算二重积分 在第一象限部分. 解: 其中D 为圆域 两部分 说明: 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 * 解:由题意得 则 * 交换下列二次积分的顺序: 例4. 例5. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = * 例6. 设?由锥面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 * 例7. 计算 其中 解: 利用对称性 *