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? ? ? ? 习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 第九章 重积分的计算及应用 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 2. 选择易计算的积分序 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 计算积分 其中D 由 所围成 . 连续, 所以 提示:如图所示 二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 利用对称性（或重心公式）简化计算 2. 交换积分顺序的方法 3. 消去被积函数绝对值符号 òò òò = D D x y f y x f s s d ) , ( d ) , ( 补充对称性 计算 解 积分区域D关于x轴对称, 被积函数关于y为偶函数. 原式= 记D1为D的y≥0的部分. 则 D1 二重积分的计算法 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 围成 . 练习 4 (1) (2) 计算二重积分 在第一象限部分. 其中D 为圆域 例7. 设?由锥面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 三重积分的计算 例8. 计算 其中 解: 利用对称性 例9. 把积分 化为三次积分, 其中?由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . 例10 .计算三重积分 其中?是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 三、重积分的应用 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面 3. 其它方面 例1 因曲面方程为 所以, o x z y D 解 截下的有限曲面片的面积. 被柱面 求曲面 a 重积分的应用 一个炼钢炉为旋转体形,剖面 壁线的方程为 若炉内储有高为h的均质钢液,不计 由对称性知质心在 z 轴上， 炉壁方程为 故 炉体的自重,求它的质心. 重积分的应用 例2 解 ? ? ? ?