9.三重积分及其计算总结归纳.ppt

三重积分及其计算 一、三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义 其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同 若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。 二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 故在直角坐标系下的面积元为 三重积分可写成 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单 ①先单后重 ——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。 化三次积分的步骤 ⑴投影，得平面区域 ⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 例1 将 化成三次积分 其中 为长方体，各边界面平行于坐标面 解 将 投影到xoy面得D，它是一个矩形 在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线 交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （l m) o x y z m l a b c d D 。(x,y) 例2 计算 其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域 解 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分 先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分 若 f(x,y,z) 在 上连续 介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之间 用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域 则 ②先重后单 易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便， 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算 尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时 例5 计算 解 故 例6 解一 解二 先单后重 将 投影到 xoy 面得D 先重后单 （用极坐标，用对称性） 此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法